Question

Como se calcula a derivada de x + x^1/2 pela definição que utiliza limite? Estou fazendo esse exercício e não consigo chegar na resposta.

Answer 1

Calcular a derivada da função

f(x) = x + x^(1/2)

via limite.

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A derivada de f em um ponto x onde o limite abaixo exista é

f'(x) = lim [f(x + h) - f(x)]/h, h--> 0
f'(x) = lim [ (x + h) + (x + h)^(1/2) - (x + x^(1/2) ]/h, h-->0
f'(x) = lim [ x + h + (x + h)^(1/2) - x - x^(1/2) ]/h, h-->0
f'(x) = lim [ h + (x + h)^(1/2) - x^(1/2) ]/h, h-->0
f'(x) = lim h/h + [ (x + h)^(1/2) - x^(1/2) ]/h, h-->0
f'(x) = lim 1 + [ (x + h)^(1/2) - x^(1/2) ]/h, h-->0

Para simplificar as potências com expoentes fracionários, multiplique o numerador e o denominador por (x + h)^(1/2) + x^(1/2):

f'(x) = lim 1 + [ (x + h)^(1/2) - x^(1/2) ]/h * [ (x + h)^(1/2) + x^(1/2) ]/[ (x + h)^(1/2) + x^(1/2) ], h-->0
f'(x) = lim 1 + [ (x + h) -.x ]/[ h * ( (x + h)^(1/2) + x^(1/2) ) ], h--> 0
f'(x) = lim 1 + h/[ h * ( (x + h)^(1/2) + x^(1/2) ], h-->0

Simplificando o h que aparece como fator comum,

f'(x) = lim 1 + 1/[(x + h)^(1/2) + x^(1/2)], h-->0

Aplicando o limite,

f'(x) = 1 + 1/[(x + 0)^(1/2) + x^(1/2)]
f'(x) = 1 + 1/[x^(1/2) + x^(1/2)]
f'(x) = 1 + 1/[2x^(1/2)] <----- esta é a resposta.

Bons estudos! :-)