Question

Como resolvo:

$\mathtt{ x^{ \frac{3}{i} } + \dfrac{1}{x^{2i} } = 12}$


Por favor, peço para responder de forma organizada, clara e detalhada!
Obrigado :)

Answer 1

Olá!

Solução:

$x^{\frac{3}{i}}+\dfrac{1}{x^{2i}} =\:12$

$x^{-3i}+x^{-2i} =\:12$

* Para x^-3i , temos:

$\dfrac{3}{i} = \dfrac{3}{i}*\dfrac{i}{i} = \dfrac{3i}{i^2} = - 3i$

Substituindo o valor encontrado e prosseguimos com a solução:

$(x^i)^{-3} + (x^i)^{-2} = 12$

$se: \boxed{x^i = m}$

$m^{-3} + m^{-2} = 12$

$\dfrac{1}{m^3} + \dfrac{1}{m^2} = 12$

Use o MMC = m³

$\dfrac{1}{m^3\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{\hspace{0.5cm}}{~}} } + \dfrac{m}{m^3\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{\hspace{0.5cm}}{~}} } = \dfrac{12\:m^3}{m^3\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{\hspace{0.5cm}}{~}} }$

$1 + m = 12\:m^3$

$12\:m^3 - m - 1 = 0$

Com a fatoração, temos:

$(2\:m - 1)(6\:m^2 + 3\:m + 1) = 0$

Temos: 2m - 1 = 0

$2\:m - 1 = 0 \to \boxed{m_1 = \dfrac{1}{2}}$

Temos: 6m² + 3m + 1 = 0 e aplicamos Bháskara

$6\:m^2 + 3\:m + 1 = 0$

$\Delta = b^2 - 4*a*c$

$\Delta = 3^2 - 4*6*1$

$\Delta = 9 - 24$

$\Delta = - 15$

$m = \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta} }{2*a}$

$m = \dfrac{-3\pm\sqrt{-15} }{2*6}$

$\boxed{m_{2,3} = \dfrac{-3\pm\:i\sqrt{15} }{12}}$

Encontrada as soluções das raízes em Bháskara, agora vamos substituir...

... $se: \boxed{x^i = m}$

* para m = 1/2 e m = (- 3 ± i√15)/12

$x^i = m$

$x^i = \dfrac{1}{2}$

$2\:x^i = 1$

$2x^i = e^{2\pi\\n }$

$x^i = 2^{-1}*e^{2\pi\\n}$

$x^i = 2^{\frac{-1}{i}}*e^{2\pi\\n}$

$x = 2^{\frac{-1}{i^2}}*e^{2\pi\\n}$

$\boxed{\boxed{x = 2^i*e^{2\pi\\n}, n\in\:Z}}\:\:\:\:\:\:\bf\green{\checkmark}$

e

$\boxed{\boxed{x_{2,3} = \left(\dfrac{-3\pm\:i\sqrt{15} }{12}\right)^{-i}*e^{2\pi\\n}, n\in\:Z}}\:\:\:\:\:\:\bf\purple{\checkmark}$

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$\bf\blue{Espero\:ter\:ajudado, sauda\c{c}\~oes ...\:Dexteright02!}\:\:\ddot{\smile}$