Question

Como resolvo a questão em anexo?
*A forma que a questão informa o limite da sequencia lembra o teste da razão, pensando nele, a sequencia seria absolutamente convergente, e como a sequencia converge o limite de a_n é zero. Mas se esse limite é zero como o limite do quociente a_n+1 / a_n pode existir?
Meu pensamento faz algum sentido?

Answer 1

De acordo com o enunciado, o $a_{n}$ é uma sequência de termos positivos.

E temos que

$\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=L<1.$


Como consequência do limite acima, a série

$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_{n}}.$

converge absolutamente (pelo critério da razão).


E para toda série convergente, vale que o limite do termo geral é zero (critério do termo geral). Sendo assim,

$\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;{a_{n}}=0.$
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Obs.: O fato de o limite de um quociente dar zero significa que o numerador tende a zero mais depressa que o denominador, ou seja, a ordem de grandeza do numerador é menor que a ordem de grandeza do denominador.

Nada impede que sequências tenham limite zero, e que o limite da razão entre termos consecutivos exista.

$\bullet\;\;$ Exemplo:

$a_{n}=\dfrac{1}{n!}\;\;\;(n\geq 0)$


O limite da sequência é

$\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{1}{n!}=0.$


O limite da razão entre termos consecutivos é

$\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\\ \\ \\ =\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{1}{(n+1)!}\cdot n!\\ \\ \\ =\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{1}{(n+1)\cdot \diagup\!\!\!\! n!}\cdot \diagup\!\!\!\! n!\\ \\ \\ =\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{1}{n+1}=0.$


O limite da razão existe, mesmo o limite do termo geral sendo zero.