Question

Como resolver √x √ x+2 = 2 <=== é uma raiz quadrada dentro de outra raiz quadrada

Answer 1

Resolver a equação irracional 

$\sqrt{x\sqrt{x+2}}=2$

Supondo que o conjunto universo, onde está essa equação, é o conjunto dos números reais.

Para que √(x+2) exista, deve ocorrer:

$x+2 \geqslant 0$                                                                      

Para que √(x√(x+2)) exista, deve ocorrer:

$x\sqrt{x+2}\geqslant 0$                                                             

As condições acima são simultâneas, logo:

$x\geqslant 0$                                                                                               

Supondo que x satisfaz as condições acima, vamos prosseguir com a resolução:

$\sqrt{x\sqrt{x+2}}=2\\\\x\sqrt{x+2}=2^2\\\\x^2(x+2)=2^4\\\\x^3+2x^2-16=0\\\\x^3+2x^2-8-8=0\\\\x^3-8+2x^2-8=0\\\\x^3-2^3+x^2+x^2-2^2-2^2=0\\\\x^3-2^3+x^2-2^2+x^2-2^2=0\\\\^1(x-2)(x^2+2x+4)+\hspace{1}^2(x-2)(x+2)+(x-2)(x+2)=0\\\\(x-2)((x^2+2x+4)+(x+2)+(x+2))=0\\\\(x-2)(x^2+4x+8)=0\\\\\Leftrightarrow\\\\(x-2)=0~~~ou~~~x^2+4x+8=0$

A segunda equação - a equação quadrática - não possui solução real.

∴ x - 2 = 0  ⇔  x = 2 (resposta).




¹ a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)
² a² - b² = (a-b)(a+b)