Question

Como resolver questões de divisão inversamente proporcional. Ex.: João pretende dividir R$ 1000 com seu três filhos de um modo inversamente proporcional às suas idades. Sendo que eles possuem 20, 25 e 27 anos.

Answer 1

Sabemos que duas grandezas (x e y) são diretamente proporcionais quando:

$\boxed{\dfrac{x}{y}=k}$

Também sabemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando:

$\boxed{xy=k}$

Onde 'k' é uma constante, nos 2 casos
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Exemplo: Divida 4700 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5.

Partes: a b e c

'a' é inversamente proporcional a 3:

$a\cdot3=k~~~\therefore~~~a=\dfrac{k}{3}$

'b' é inversamente proporcional a 4:

$b\cdot4=k~~~\therefore~~~b=\dfrac{k}{4}$

'c' é inversamente proporcional a 5:

$c\cdot5=k~~~\therefore~~~c=\dfrac{k}{5}$

A soma das partes deve ser o valor total:

$a+b+c=4700\\\\\\\dfrac{k}{3}+\dfrac{k}{4}+\dfrac{k}{5}=4700$

O m.m.c entre 3, 4 e 5 é 60

$\dfrac{20k+15k+12k}{60}=4700\\\\\\\dfrac{47k}{60}=4700\\\\\\\dfrac{k}{60}=100\\\\\\\boxed{\boxed{k=6000}}$

Pra achar as partes, é só substituir k:

$a=\dfrac{k}{3}=\dfrac{6000}{3}=2000\\\\\\b=\dfrac{k}{4}=\dfrac{6000}{4}=1500\\\\\\c=\dfrac{k}{5}=\dfrac{6000}{5}=1200$

Esse é um modo de resolver. Veja que não usei nada específico, apenas conceitos já conhecidos da matemática. Existem formas mais rápidas de se resolver, utilizando das propriedades de proporcionalidade, mas desse maneira conseguirá resolver todos também