Question

como resolver a inequação x < 3/x+2

Answer 1

x < 3/(x + 2)         passe tudo pro mesmo lado:
x - 3/(x + 2) < 0    guale os denominadores:
x(x+2)/(x + 2) - 3/(x + 2) < 0     
(x²-2x)/(x +2) - 3/(x + 2) < 0
(x² - 2x - 3)/(x + 2) < 0 

Agora pense nisso como uma função e veja onde ela é menor que 0.
f(x) = (x² - 2x - 3)/(x + 2)        

Ache as raízes do numerador e do denominador:
Numerador:
x² - 2x - 3 = 0                   vou resolver por soma e produto:

x1 + x2 = -b/a = -(-2)/1 = 2
x1 . x2 = c/a = -3/1 = -3

Ache dois números cuja soma é 2 e o produto -3. Eles são 3 e -1, logo:
x1 = -1, x2 = 3

Denominador:
x + 2 = 0
x3 = -2            << lembre-se o x não pode ser -2, senão o denominador zera.

Agora entenda uma coisa, em uma função quando o gráfico passa por uma raiz ele troca de sinal (a menos que a raiz seja dupla), então jogue um valor qualquer para x e analisa seu sinal:

p/ x = -3
f(x) = (x² - 2x - 3)/(x + 2)        
f(-3) = ((-3)² -2(-3) - 3))/(-3 +2)
f(-3) = (9 + 6 - 3)/(-1)  
f(-3) = 12/-1 = -12 <<< negativa.

Com isso podemos notar que a função é negativa quando x é menor que -2, positiva quando x é maior que -2 e menor que -1, negativa quando x é maior que -1 e menor que 3 e positiva quando ela é maior que 3.

Como queremos os valores menores que 0:
S= { x < -2 ou -1 < x < 3}

Bons estudos