Question

como resolver a EDO (y-x²)dx+2xdy=0

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, obtemos que a solução particular desta Equação Diferencial Ordinária é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \boxed{ \bf y = \frac{x {}^{2} }{5} + \frac{ C_3}{{x }^{ \frac{1}{2} } } }}$

Temos a seguinte equação:

$\: \: \: \: \: \: \boxed{ \bf (y - x {}^{2} )dx + 2xdy = 0}$

Para facilitar o entendimento dos passos envolvidos no cálculo, vamos montar um roteiro hipotético.

• Roteiro:

$\begin{cases} {\bf1)} \: verificar \: homogeneidade \\ { \bf 2)} \: organizar \: a \: equac \tilde{a}o \\ { \bf3) }\: fator \: integrante \\ { \bf 4) }\: soluc \tilde{a}o \: particular \end{cases}$

Como foi dito, primeiro vamos verificar se essa equação é homogênea. Para isso vamos lembrar que:

• Se $\bf f(tx,ty) = t^{\alpha}f(x,y),\:\alpha\in\mathbb{R}$, então f é homogênea de grau $\bf \alpha$.

Devido a nossa equação possui uma organização diferente, devemos fazer duas verificações.

$\: \: \boxed{ M(x,y)dx+N(x,y)dy= 0}$

Esta verificação citada acima resume-se basicamente a:

$\begin{cases}\bf M(tx,ty) = t^{ \alpha }M(x,y) \\\bf N(tx,ty)= t^{ \alpha }N(x,y) \end{cases}$

Fazendo este estudo na função fornecida:

$M(x,y) = y - x {}^{2} \: \to \:M(tx,ty) = ty - t^{2} x^{2} \\ N(x,y)= 2x \: \to \: N(tx,ty) = 2tx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Portanto concluímos que esta equação não é homogênea, ou seja, não poderemos utilizar o método da substituição de variável.

Como segundo passo listamos a organização da equação, para ver se conseguimos resolver por algum método conhecido.

$(y - x^{2} )dx + 2xdy = 0 \: \to \: (y - x {}^{2} )dx = - 2xdy$

Passando o termo (dx) dividindo:

$\left(y - x {}^{2} = - 2x \: . \: \frac{dy}{dx} \right) \: . \: \left( - \frac{1}{ 2x} \right) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{y - x {}^{2} }{ - 2x} = \frac{dy}{dx} \: \to \: - \frac{y}{2x} - \frac{x {}^{2} }{ - 2x} = \frac{dy}{dx} \\ \\ \boxed{ \frac{dy}{dx} + \left( \frac{1}{2x} \right) . \: y = \frac{x}{2} }$

Observe que essa expressão se assemelha a equação linear de primeira ordem:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \bf\frac{dy}{dx} + P(x) . y = Q(x)}$

Para solucionar equações deste tipo, recorremos ao cálculo de uma ferramenta chamada de fator integrante, dado pela fórmula abaixo.

$\: \: \: \: \: \: \: I(x) = \exp \left( \int P(x) dx\right)$

Comparadando a relação padrão com a que possuímos, podemos ver que o termo P(x) é representado pela fração $\bf \frac{1}{2x}$.

$I(x) = \exp \left( \int \frac{1}{2x} \:dx \right) \: \to \: I(x) = \exp\left( \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} \:dx \right) \\ \\ I(x) = e {}^{ \frac{1}{2} \: . \: \ln(x) } \: \to \: I(x) = e {}^{ \ln(x {}^{ \frac{1}{2} })} \: \to \: \boxed{I(x) = x {}^{ \frac{1}{2} } }$

Portanto este é o nosso fator integrante. Agora que temos esta ferramenta, podemos utilizá-lo na busca pela resolução. Para isso vamos multiplicá-lo em ambos os lados da equação.

$\: \: \: \left( \frac{dy}{dx} + \frac{y}{2x} \right) \: . \: x {}^{ \frac{1}{2} } = \left( \frac{x}{2} \right) \: . \: x {}^{ \frac{1}{2} }$

Esse primeiro termo da equação é basicamente a derivada da multiplicação da função y pelo fator integrante. Vamos fazer esta comprovação encontrando basicamente a derivada disto que acabamos de enunciar.

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• Demonstração •

$h = y \: \cdot x {}^{ \frac{1}{2} } \: \: \to \: \frac{dh}{dx} = \frac{dy}{dx} . (x {}^{ \frac{1}{2} } ) + y \: . \: \frac{d}{dx} (x {}^{ \frac{1}{2} } ) \\ \\ \boxed{ \frac{dh}{dx} = x {}^{ \frac{1}{2} } \: . \: \frac{dy}{dx} + y \: . \: \frac{1}{2x {}^{ \frac{1}{2} } } }$

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Sabendo disto, vamos reescrever esta expressão do primeiro membro.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{d}{dx} (y \: . \: x {}^{ \frac{1}{2} } ) = \frac{x {}^{ \frac{3}{2} } }{2}$

Para finalizar a questão, basta finalmente integrar ambos os lados da equação e resolver a integral.

$\int \frac{d}{dx} (y \: . \: x {}^{ \frac{1}{2} } ) = \int \frac{x {}^{ \frac{3}{2} } }{2} \: dx \: \: \to \: \: y \: . \: x {}^{ \frac{1}{2} } +C_1= \int \frac{x {}^{ \frac{3}{2} } }{2} \: dx \\ \\ y \: . \: x {}^{ \frac{1}{2}} + C_1 = \frac{1}{2} \int x ^{\frac{3}{2} } \: dx \: \: \to \: \: y \: . \: x {}^{ \frac{1}{2} } + C_1 = \frac{1}{2} . \: \frac{x {}^{ \frac{5}{2} } }{ \frac{5}{2} } +C_2\\ \\ y \: . \: x {}^{ \frac{1}{2} } + C_1 = \frac{x {}^{ \frac{5}{2} } }{5} + C_2 \: \to \: \: y \: . \: x {}^{ \frac{1}{2} } = \frac{x {}^{ \frac{5}{2} } }{5} + \underbrace{ C_2 - C_1}_{C_3} \\ \\ y \: . \: x {}^{ \frac{1}{2} } = \frac{x {}^{ \frac{5}{2} } }{5} + {C_3} \: \to \: y = \frac{x {}^{ \frac{5}{2} } }{5x {}^{ \frac{1}{2} } } + \frac{C_3}{x {}^{ \frac{1}{2} } } \\ \\ \boxed{ \boxed{ \bf y = \frac{x {}^{2} }{5} + \frac{ C_3}{{x }^{ \frac{1}{2} } } }}$

Espero ter ajudado

+ Exemplos:

brainly.com.br/tarefa/19478977