Question

Como resolve este exercícico de Álgebra Moderna?

H ∩ K é subconjunto de G. Calcule [G : K ∩ K]

Answer 1

Boa noite!

Solução!

Para resolver esse exercício é importante lembra do lema de Poincaré.

O lema de Poincare esta relacionado as inclusões no grupos finitamentes gerados.

$\forall~~a~~~~a\in G~~tem-se\\\\\\\ (H\cap K)a=Ha\cap Ka~~as~~inclus\~oes~~s\~ao~~obvias.\\\\\\\\ (H\cap K)a \subset Ha~~e~~(H\cap K)a\subset Ka \Rightarrow (H\cap K)a\subset Ha\capKa\\\\\\ Logo~~se~~x \in Ha\cap Ka~~ent\~ao~~ x=ha=Ka,h\in H,k \in K\\\\\\\\ ~~portanto,h=k \in H \cap k~~se~~x \in (H\cap K)a~~concluimos~~que\\\\\\\boxed{(Ha\cap Ka) \subset (H\cap K)a}$

$Sendo~~que~~todos~~os~~nu\´meros ~~a~~do~~lado~~direito~~de~~Ha$

$s\~ao~finito~~e~~tem~~para~~as~~classes~~Ka,por~~serem ~~ambos$

$subgrupos,segue~~imediatamente~~todos~~os~~n\´umeros~~possiveis$


$(inclus\~ao)~Ha \cap Ka~~tambem~~e\´~~finito$

$Conclus\~ao~~[G:H \capK]~~e\´~~finito$

Boa noite!
Bons estudos!