Question

Como resolve esse sistema ?

X + Y = 12
log2 X + log2 Y = 5 
para x < y, determine log2 x(y)

Answer 1

LOGARITMOS

Sistema de Equações Logarítmicas

$\left \{ {{x+y=12(I)} \atop {Log _{2}x+Log _{2}y=5(II) }} \right.$

Isolando x na equação I, podemos substitui-lo na equação II:

$x=12-y(I)$

$Log _{2}(12-y)+Log _{2}y=5$

Como os logaritmos encontram-se na mesma base, podemos igualar as bases, aplicarmos a p1:

$Log _{2}(12-y)*y=5$

Aplicando a definição de Log, vem:

$12y-y ^{2}=2 ^{5}$

$- y^{2}+12y=32$

$-y ^{2}+12y-32=0$

Multiplicando esta equação do 2° grau por -1, temos:

$y ^{2}-12y+32=0$

Resolvendo esta equação obtemos as raízes y'=4 e y"=8, substituindo os valores de y em função de x, vem:

1a raiz:

$Log _{2}x+Log _{2}y=5$

$Log _{2}x+Log _{2}4=5$

$Log _{2}x*4=5$

Pela definição:

$4x=2 ^{5}$

$4x=32$

$x=8$


2a raiz:

$x+y=12$

$x+8=12$

$x=12-8$

$x=4$


Solução: x,y {(8,4,4,8)}