Question

Como provar que uma função de N (números naturais) em R (números reais) é sobrejetora?

Answer 1

Dada a seguinte função:

$\begin{array}{cccl} f:&\mathbb{N}&\!\!\!\to&\!\!\!\mathbb{R}\\ \\ &x&\!\!\!\mapsto&x^{2}+1 \end{array}$

queremos saber se $f$ é sobrejetora.

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$f$ será sobrejetora se, e somente se, para todo $y$ do contradomínio existir um único correspondente $x$ no domínio tal que $y=x^{2}+1:$

$\forall~y\in\mathbb{R}\,,~\exists!~x\in\mathbb{N}$

tal que $y=x^{2}+1.$
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Vamos provar que $f$ não é sobrejetora.

Tomemos $y=3\in \mathbb{R}.$ Se $f$ for sobrejetora, então existe exatamente um $x \in\mathbb{N}\,,$ tal que

$3=x^{2}+1~\Rightarrow~x^{2}=3-1~\Rightarrow~x^{2}=2\text{ (absurdo)}$


Chegamos a um absurdo, pois não existe natural que elevado ao quadrado resulte $2.$


Logo, $f$ não é sobrejetora.