Como prêmio pela vitória em uma competição, serão distribuídas 12 moedas de ouro idênticas entre três pessoas da equipe vencedora, e cada uma deverá receber, pelo menos, 2 moedas. O número de maneiras distintas de efetuarmos essa distribuição é:
A) 12
B) 28
C) 38
D) 40
E) 120
Soluções para a tarefa
=> Temos 12 moedas iguais (não distintas) para distribuir por 3 atletas
..única restrição: cada um deve receber, pelo menos, 2 moedas
=> Por outras palavras e "fixando" já 2 moedas em cada um dos atletas o que pretendemos saber é de quantas formas podemos distribuir as restantes 6 moedas
Note que a distribuição das restantes 6 moedas não tem qualquer restrição
Isto equivale a dizer que a distribuição pode ser de (6+0+0) ...até (0+0+6)
E pronto estamos numa área especifica de Análise Combinatória que é o cálculo de:
"número de soluções inteiras e não negativas de uma equação linear"
Temos 3 incógnitas (atletas) ..e 6 moedas (idênticas) para distribuir donde resultará a equação linear:
x + y + z = 6 ..definida em termos de "Combinatória" por C[(n+b-1),(b)]
cuja fórmula de cálculo é:
C[(n+b-1),(b)] = (n+b-1)!/b!(n-1)!
onde
n = número de incógnitas (atletas), neste caso n = 3
b = valor da soma das incógnitas (número de moedas), neste caso b = 6
Resolvendo:
C[(n+b-1),(b)] = (n+b-1)!/b!(n-1)!
substituindo..
C[(3+6-1),(6)] = (3+6-1)!/6!(3-1)!
C(8,6) = 8!/6!2!
C(8,6) = 8.7.6!/6!2!
simplificando o fatorial
C(8,6) = 8.7/2!
C(8,6) = 56/2
C(8,6) = 28 <= número de soluções inteiras e não negativas para distribuir as 6 moedas restantes
Resposta correta: Opção - b) 28
Espero ter ajudado