Question

Como posso simplificar...


$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{5}}{\sqrt{x+5} - \sqrt{10}}$


?

Answer 1

Resposta:

$\dfrac{\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{10x}-\sqrt{5x+25}-5\sqrt{2}}{x-5}$

Explicação passo a passo:

$\dfrac{\sqrt{x} -\sqrt{5} }{\sqrt{x+5}-\sqrt{10} }$

Partindo do princípio de que o enunciado está correto o que se pode

efetuar é racionalizar o denominador da fração.

Neste caso que tem dois radicais no denominador, tem de multiplicar o

numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

Cálculos auxiliares

Para o denominador

$(\sqrt{x+5}-\sqrt{10}) * (\sqrt{x+5}+\sqrt{10})$

$= (\sqrt{x+5})^2-(\sqrt{10})^2$    Diferença de dois quadrados

$= x+5-10$

= x - 5       que vai ficar no denominador

Para o numerador

$(\sqrt{x} -\sqrt{5} )*(\sqrt{x+5} +\sqrt{10})$

$=\sqrt{x} *\sqrt{x+5}+\sqrt{x} *\sqrt{10}-\sqrt{5}*\sqrt{x+5}-\sqrt{5} *\sqrt{10}$

$=\sqrt{x*(x+5)}+\sqrt{x*10}-\sqrt{5x+25}-\sqrt{5*10}$

$=\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{10x}-\sqrt{5x+25}-\sqrt{50}$

Simplificar $\sqrt{50}$

Decompor 50 em fatores primos

50 | 2            $\sqrt{50} =\sqrt{5^2*2} =\sqrt{5^2} *\sqrt{2} =5\sqrt{2}$

25 | 5

 5 | 5

 1

Assim o numerador ficará:

$=\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{10x}-\sqrt{5x+25}-5\sqrt{2}$

Fim de cálculos auxiliares

A sua expressão inicial fica simplificada para

$\dfrac{\sqrt{x^2+5x}+\sqrt{10x}-\sqrt{5x+25}-5\sqrt{2}}{x-5}$

Fim da resolução

Observação 1 → Conjugado de uma expressão

No conjugado o primeiro termo mantém-se e mudamos o sinal ao

segundo termo.

Neste caso :

$conjugado...de...\sqrt{x+5}-\sqrt{10}.....fica ...\sqrt{x+5}+\sqrt{10}$

Com esta ação o denominador torna-se no desenvolvimento de um

produto notável :

" Diferença de dois quadrados "

Observação 2 → Diferença de dois quadrados ( desenvolvimento )

Exemplo tipo:

a² - b² = ( a + b ) * ( a - b)

Mas sempre que necessário tem de se ter presente que

( a + b ) * ( a - b) = a² - b²

Observação 3 → Produto de radicais

Têm que ter o mesmo índice.

Mantém-se o índice e multiplicam-se os radicandos

Exemplo:

$\sqrt[3]{5} *\sqrt[3]{7} =\sqrt[3]{5*7} =\sqrt[3]{35}$

Observação 4 → Elementos de um radical

Exemplo :  

$\sqrt[3]{7^2}$

→ índice  é 3

→ radicando é  7²

→ expoente do radicando é 2

→ símbolo de radical é √

Observação 5 → Elevar um radical ao índice que ele tem

Quando isto é feito o resultado será apenas a base do radicando.

Porque a potenciação e a exponenciação são operações inversas uma

da outra.

Quando usadas em simultâneo , cancelam-se mutuamente.

Exemplo:

$(\sqrt{29})^2=29$

$( \sqrt[7]{x+3})^7=x+3$

Bons estudos

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( * ) multiplicação      ( | )   divisão

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.