Question

Como posso simplificar essas expressões?
Exs:
a) secx + tgx
--------------------
cosx + cotgx

b) 1 - sen²x
-------------------
cotgx . senx

Answer 1

Simplificar as expressões trigonométricas:


a)  $\mathsf{\dfrac{sec\,x+tg\,x}{cos\,x+cotg\,x}}$

Aplique as definições de secante, tangente e cotangente:

     $\mathsf{=\dfrac{\frac{1}{cos\,x}+\frac{sen\,x}{cos\,x}}{cos\,x+\frac{cos\,x}{sen\,x}}}$


Coloque cos x em evidência no denominador:

     $\mathsf{=\dfrac{\frac{1+sen\,x}{cos\,x}}{cos\,x\cdot \left(1+\frac{1}{sen\,x}\right)}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{\frac{1+sen\,x}{cos\,x}}{cos\,x\cdot \left(\frac{sen\,x}{sen\,x}+\frac{1}{sen\,x}\right)}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{\frac{1+sen\,x}{cos\,x}}{cos\,x\cdot \frac{sen\,x+1}{sen\,x}}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{\frac{1+sen\,x}{cos\,x}}{cos\,x\cdot \frac{1+sen\,x}{sen\,x}}}$

     $\mathsf{=\dfrac{1+sen\,x}{cos\,x}\cdot \dfrac{1}{cos\,x\cdot \frac{1+sen\,x}{sen\,x}}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1+sen\,x}{cos^2\,x\cdot \frac{1+sen\,x}{sen\,x}}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1+sen\,x}{\frac{cos^2\,x}{sen\,x}\cdot (1+sen\,x)}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1}{~\frac{cos^2\,x}{sen\,x}~}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{sen\,x}{cos^2\,x}}$

     $\mathsf{=\dfrac{sen\,x}{cos\,x\cdot cos\,x}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{sen\,x}{cos\,x}\cdot \dfrac{1}{cos\,x}}$

     $\mathsf{=tg\,x\cdot sec\,x}$        ✔


b)  $\mathsf{\dfrac{1-sen^2\,x}{cotg\,x\cdot sen\,x}}$

     $\mathsf{=\dfrac{1-sen^2\,x}{\frac{cos\,x}{sen\,x}\cdot sen\,x}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1-sen^2\,x}{cos\,x}}$


Mas pela identidade trigonométrica fundamental, temos que

     1 = sen² x + cos² x


Reescrevendo o 1 como sen² x + cos² x, a expressão fica

     $\mathsf{=\dfrac{(sen^2\,x+cos^2\,x)-sen^2\,x}{cos\,x}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{cos^2\,x}{cos\,x}}$

     $\mathsf{=cos\,x}$        ✔


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Bons estudos! :-)