Question

como posso resolver passo a passo a função f(x,y)=ycos(xy)determine a derivada de 2ª ordem fxy=d²f/dydx

Answer 1

$f(x,y) = y*cos(xy)$


$\boxed{\boxed{ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = \frac{\partial }{\partial y }( \frac{\partial f}{\partial x} )= \text{deriva primeiro em relacao a x, e depois a y} }}$


então vc primeiro deriva em relaçao a x
depois pega essa função derivada que vc achou e deriva em relaçao a y

derivando em realaçao a x ..y vira uma constante
$\frac{\partial f}{\partial x} =y*-sen(xy)*(1*y)\\\\ \boxed{\boxed{\frac{\partial f}{\partial x} =-y^2*sen(xy)}}$

derivando essa função em relaçao a y 

pra deivar tem q usar a regra do produto
u = -y²  
u' = -2y
v = sen(xy)
v' = cos(xy)*x

$\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x} =-y^2*sen(xy)}\\\\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} =-2y*(sen(xy)+(-y^2)*(cos(xy)*x)}\\\\ \boxed{\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} =-2ysen(xy)-y^2x*cos(xy)}}$