Question

Como os valores de 'n' foram encontrados: 

1. raiz oitava de 7^n = raiz quadrada de 7;
2. raiz quadrada da raiz n de 110 = raiz décima segunda de 110;
3. raiz quadrada da raiz quadrada da raiz quadrada de a = raiz n de a;
4. (raiz n de 2)^8 = 4

Answer 1

São equações exponenciais (incógnita aparecendo no expoente)
Para resolvê-las, devemos tentar igualar as bases. Caso consigamos igualar as bases, basta igualar os expoentes. Caso não consigamos, devemos utilizar os logaritmos

Podemos igualar as bases em todas as equações postadas, não precisando utilizar dos logaritmos para a resolução

Propriedades que utilizei:

$\sqrt[n]{x^{b}}=x^{\frac{b}{n}}$ (x elevado a [b sobre n])
Potência de potência: $(x^{a})^{b}=x^{(a*b)}$
_____________________

1)

$\sqrt[8]{7^{n}}=\sqrt{7}\\7^{n/8}=\sqrt{7}\\7^{n/8}=\sqrt[2]{7^{1}}\\7^{n/8}=7^{1/2}$

Bases iguais, iguale os expoentes:

$n/8=1/2\\n=8*1/2\\n=8/2\\n=4$

2)

$\sqrt{\sqrt[n]{110}}=\sqrt[12]{110}\\\sqrt{110^{1/n}}=110^{1/12}\\(10^{1/n})^{1/2}=110^{1/12}$

Potência de potência: Multiplicamos os expoentes

$110^{(1/n)*(1/2)}=110^{1/12}$

Bases iguais, iguale os expoentes:

$(1/n)*(1/2)=1/12\\1/n=2*1/12\\1/n=1/6\\n*1=6*1\\n=6$

3)

$\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}}}=\sqrt[n]{a}\\\sqrt{\sqrt{a^{1/2}}}=\sqrt[n]{a}\\\sqrt{(a^{1/2})^{1/2}}=\sqrt[a]{a}\\\sqrt{a^{1/4}}=\sqrt[n]{a}\\(a^{1/4})^{1/2}=\sqrt[n]{a}\\a^{1/8}=\sqrt[n]{a}\\a^{1/8}=a^{1/n}\\1/8=1/n\\1*n=8*1\\n=8$

4)

$(\sqrt[n]{2})^{8}=4\\\sqrt[n]{2^{8}}=4\\2^{8/n}=2^{2}\\8/n=2\\8=2*n\\2n=8\\n=8/2\\n=4$

Caso não entenda algo que eu fiz, pode me falar que eu edito e escrevo de uma outra forma ou de uma forma mais detalhada, ok? Caso não responda na hora, amanhã de noite eu te respondo