Question

Como foi definido anteriormente, o volume gerado pela rotação em torno do eixo dos x do gráfico de uma função y = f(x) num intervalo [a, b], é dado por: V= π∫ba y²dx

Apresente 1 exemplo de cálculo de volume de cone ou de cilindro calculado através dessa integral, comprovando o mesmo resultado se utilizar as fórmulas usadas em Geometria.

Volume cilindro = π.r².h

Volume cone =Fórmula volume coneπ.r².h/3

Answer 1

Consideremos a função constante, f(x) = r, sendo r > 0 (anexo I). Fazendo a revolução dessa função f(x) em torno do eixo x, obtemos um cilindro de raio r e altura no intervalo definido [0,h] (anexo II).

Resolvendo a área de uma circunferência qualquer, temos que A = πr² (anexo III). Mas, se dermos uma espessura dx a essa circunferência, de modo, que passamos a ter um cilindro infinitamente fino, podemos calcular o volume desse cilindro. (anexo IV).

V = Ab . h
Vc = πr² . dx

E se fizermos infinitos cilindros como esse, no intervalo de [0,h], podemos obter o volume total somando todos eles. (anexo V)

$V=\int\limits^h_0 {\pi\cdot\,r^2} \, dx\\\\\\ V=\pi\cdot\,r^2\cdot {}\int\limits^h_0 {} \, dx \\\\\\V=\pi\cdot\,r^2\cdot {x}\bigg|_0^h\\\\\\V=\pi\cdot\,r^2\cdot {h}$

Veja que o volume encontrado é o mesmo da fórmula para calcularmos o volume de um cilindro qualquer.