Question

Como fazer raiz com virgula? Tipo 136,89? Como achar a raiz desse sem calculadora?

Answer 1

Precisamos colocar o número em forma de fração e trabalhar na raiz do numerador e do denominador

$\mathsf{136,89=\dfrac{136,89\cdot100}{100}=\dfrac{13689}{100}}$

Tirando a raiz, temos

$\mathsf{\sqrt{136,89}=\sqrt{\dfrac{13689}{100}}}\\\\\\\mathsf{\sqrt{136,89}=\dfrac{\sqrt{13689}}{\sqrt{100}}=\dfrac{\sqrt{13689}}{10}}$

Agora precisamos fatorar o número 13689, que pode não ser uma tarefa muito fácil. Vamos tentar usar outra abordagem

Sabemos que $\mathsf{12100\,\,\textless\,\,13689\,\,\textless\,\,14400}$, então

$\mathsf{\sqrt{12100}\,\,\textless\,\,\sqrt{13689}\,\,\textless\,\,\sqrt{14400}}\\\\\mathsf{110\,\,\textless\,\,\sqrt{13689}\,\,\textless\,\,120}$

Vamos ver se algum número entre 110 e 120 é a raiz de 13689 (se não for, teremos que fatorar mesmo)

$\bullet\,\,\mathsf{111^{2}=(100+11)^{2}=100^{2}+11^{2}+2\cdot100\cdot11=12321}$

Como 111² está um pouco longe de 13689, vamos pular alguns números

$\bullet\,\,\mathsf{114^{2}=(111+3)^{2}=111^{2}+3^{2}+2\cdot111\cdot3=12996}\\\\\bullet\,\,\mathsf{115^{2}=(114+1)^{2}=114^{2}+1^{2}+2\cdot114\cdot1=13225}\\\\\bullet\,\,\mathsf{116^{2}=(115+1)^{2}=115^{2}+1^{2}+2\cdot115\cdot1=13456}\\\\\bullet\,\,\mathsf{117^{2}=(116+1)^{2}=116^{2}+1^{2}+2\cdot116\cdot1=13689\,\,\checkmark}$

Logo, 13689 é um quadrado perfeito e $\mathsf{\sqrt{13689}=117}$

Com isso,

$\mathsf{\sqrt{136,89}=\dfrac{\sqrt{13689}}{10}=\dfrac{117}{10}=11,7}$

Veja que não é muito fácil calcular esse tipo de raiz quadrada, principalmente quando o numerador ou denominador são grandes e difíceis de fatorar. O ideal é sempre colocar a fração na forma irredutível (mas já era o caso dessa)