Question

Como faz isso?

Calcule a seguinte derivada:
f'(5), sendo f(x) = imagem em anexo.

Agradeço muito se puderem me ajudar!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: f(x) = L \: . \: \left( \sqrt{ \frac{2}{1 + x} } \right) \: \bullet$

Primeiro vamos lembrar de uma propriedade da derivada, que é a da multiplicação de uma constante por uma função. Matematicamente tem-se que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é dada pela constante multiplicada pela derivada da função:

$\boxed{\sf y= \epsilon \: . \: g(x) \: \: \to \: \frac{dy}{dx} = \epsilon \: . \: \frac{d}{dx} (g(x))}$

Aplicando esta ideia na função que temos:

$\: \: \: \: \: \: \sf \frac{df(x)}{dx} = L \: . \: \frac{d}{dx} \left( \sqrt{ \frac{2}{1 + x} } \right)$

Agora vamos utilizar uma propriedade da radiciação/potenciação, que nos permite fazer uma potência virar uma raiz, assim como uma raiz virar uma potência:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf a {}^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{a {}^{m} } }$

Aplicando na função:

$\: \: \: \: \: \sf \frac{df(x)}{dx} = L \: . \: \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{2}{1 + x} \right) {}^{ \frac{1}{2} } \right)$

Note que agora devemos utilizar a regra da cadeia, já que temos uma função dentro de outra. Fazendo a derivação separadamente, temos:

$\sf \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{2}{1 + x} \right) {}^{ \frac{1}{2} } \right) = \frac{1}{2} .\left( \left( \frac{2}{1 + x} \right) {}^{ \frac{1}{2} - 1} \right) . \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{1 + x} \right) \\ \\ \sf \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{2}{1 + x} \right) {}^{ \frac{1}{2} } \right) = \frac{1}{2} .\left( \frac{2}{1 + x} \right) {}^{ - \frac{1}{2} } . \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{1 + x } \right)$

Utilizando a regra da divisão nas derivadas:

$\sf \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{ 2}{1 + x} \right) {}^{ \frac{1}{2} } \right) = \frac{1}{2} .\left( \frac{2}{1 + x } \right) {}^{ - \frac{1}{2} } . \left [ \frac{ \frac{d}{dx}(2).(1 + x) - 2. \frac{d}{dx}(1 + x) }{(1 + x) {}^{2} } \right] \\ \\ \sf \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{2}{1 + x} \right) {}^{ \frac{1}{2} } \right) = \frac{1}{2} .\left( \frac{2}{1 + x } \right) {}^{ - \frac{1}{2} } . \left [ \frac{ - 2 }{(1 + x) {}^{2} } \right] \\ \\ \sf \sf \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{2}{1 + x} \right) {}^{ \frac{1}{2} } \right) = \frac{1}{2} . \frac{ 2 {}^{ - \frac{1}{2} } }{(1 + x) {}^{ - \frac{1}{2} } } . \frac{ - 2}{(x + 1) {}^{2} } \\ \\ \sf \sf \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{ 2}{1 + x} \right) {}^{ \frac{1}{2} } \right) = \frac{1}{2} . \frac{ - 2 {}^{ \frac{1}{2} } }{(1 + x) {}^{ \frac{3}{2} } } \\ \\ \sf \sf \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{2}{1 + x} \right) {}^{ \frac{1}{2} } \right) = \frac{ - 2 {}^{ \frac{1}{2} } }{2 \sqrt{( x + 1) {}^{3} } } \\ \\ \sf \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{2}{1 + x} \right) {}^{ \frac{1}{2} } \right) = \frac{ - 2 {}^{ \frac{1}{2} - 1 } }{ \sqrt{(x + 1) {}^{3} } } \\ \\ \sf \sf \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{2}{1 + x} \right) {}^{ \frac{1}{2} } \right) = \frac{ - 2 {}^{ - \frac{1}{2} } }{ \sqrt{(x + 1) {}^{3} } } \\ \\ \sf \sf \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{2}{1 + x} \right) {}^{ \frac{1}{2} } \right) = \frac{ - 1}{2 {}^{ \frac{1}{2} } ( \sqrt{(x + 1) {}^{3} } }$

Substituindo essa derivação onde paramos:

$\sf \frac{df(x)}{dx} = L. \frac{ - 1 }{ \sqrt{2} \sqrt{(x + 1) {}^{3} } } \: \: \to \: \: \sf\frac{df(x)}{dx} = \frac{ - L }{ \sqrt{2} \sqrt{(x + 1) {}^{3} } } \\\\\sf\frac{df(5)}{dx} = \frac{-L}{\sqrt{2}.\sqrt{(5+1)^3}}\:\:\to\:\: \frac{df(5)}{dx}=\frac{-L}{\sqrt{2}.\sqrt{(6)^3}}\\\\\sf\frac{df(5)}{dx}=\frac{-L}{\sqrt{2}.\sqrt{216}}\:\:\to\:\:\frac{df(5)}{dx}=\frac{-L}{\sqrt{2}\:.\:6\sqrt{6}}\\\\ \sf\frac{df(5)}{dx}=\frac{-L}{{6\:.\sqrt{12}\:}}\:\:\to\:\:\frac{df(5)}{dx}=-\frac{L}{12\sqrt{3}}$

• Explicação

$\sf\frac{-2^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{(x+1)^3}}\:\:\to\:\:\frac{-1}{\sqrt{(x+1)^3}}.\frac{2^{-\frac{1}{2}}}{1}\\\\\sf\frac{-1}{\sqrt{(x+1)^3}}.\frac{\frac{1}{2^\frac{1}{2}}}{1}\:\:\to\:\to \frac{-1}{\sqrt{(x+1)^3}}.\frac{1}{2^\frac{1}{2}}.\frac{1}{1}\\\\\sf\frac{-1}{2^\frac{1}{2}\sqrt{(x+1)^3}}$

Espero ter ajudado.