Question

como faço para descobrir os pontos maximo e minimo relativo dessa função: f(x)= x^4-2x³. atraves da derivada?

Answer 1

Boa noite!

Função:
$f(x)=x^4-2x^3$

Derivando encontra os pontos críticos (candidatos a pontos de máximo ou mínimo). Estes pontos são aqueles onde a derivada primeira vale zero ou onde esta derivada não existe.
$f'(x)=4x^3-6x^2$

Igualando a zero:
$4x^3-6x^2=0\\x^2(4x-6)=0\\x=0\\4x-6=0\\4x=6\\x=\frac{6}{4}$

Então temos 2 pontos críticos. Para analisar se são máximo ou mínimo podemos usar a derivada segunda.
$f''(x)=12x^2-12x\\f''(0)=12(0)^2-12(0)=0\text{ nao podemos concluir}\\f''(\frac{6}{4})=12(\frac{6}{4})^2-12(\frac{6}{4})=12\cdot\frac{36}{16}-18=27-18=9\text{ ponto de minimo}$

O ponto onde x=0 tem uma propriedade interessante:
f''(x)=12x^2-12x=12x(x-1)
x<0 ==> f''(x)>0
0<x<1 ==> f''(x)<0
x>1 ==> f''(x)>0

Mas veja que ao passar por x=0 há uma mudança de sinal para f''(x), portanto, é um ponto de inflexão (ponto onde há mudança na concavidade da curva). O mesmo para x=1.

Então:
x=0 ponto de inflexão
x=1 ponto de inflexão
x=6/4 ponto de mínimo local

Espero ter ajudado!