Question

como faço isso????


Além do fator apelo, na hora de escolher a embalagem, leva-se em conta o fator custo, que está vinculado aos materiais para a confecção e a quantidade utilizada. Fabricantes que lidam com produtos colocados em latas, por exemplo, têm que dimensionar as medidas dos recipientes de modo que seja possível estabelecer o maior volume com a menor quantidade de material.
Um fabricante de latas para conserva em forma de cilindro de alumínio recebe um pedido de latas, as quais devem atender a especificação de um determinado volume. Defina as dimensões que minimizarão a quantidade de alumínio para a fabricação.

Answer 1

Utilizando multiplicadores de Lagrange, temos que para esta área ser minima, precisamos que a altura seja duas vezes o raio.

Explicação passo-a-passo:

Esta é uma questão de multiplicadores de Lagrange, onde existe uma função f que queremos maximizar ou minimizar, e uma função g sendo a condição.

Este metodo nos diz que:

$\nabla f(x^i)=lambda.\nabla g(x^i)$

E então vamos encontrar as funções do nosso problema.

A função f do nosso problema, que queremos minimizar é a função área, para minimizar os custos:

$A(r,h)=2\pi.r^2+2\pi.r.h$   (área do cilindro).

E a nossa função condição é o volume:

$V(r,h)=\pi.r^2.h=V_0$   (volume do cilindro).

Onde Vo é um valor constante.

Então fazendo as derivadas:

$\frac{dA}{dr}=\lambda.\frac{dV}{dr}$

$\frac{dA}{dh}=\lambda.\frac{dV}{dh}$

Temos:

$(4\pi.r+2\pi.h)=\lambda.(2\pi.r.h)$

$(2\pi.r)=\lambda.(\pi.r^2)$

Agora temos estas duas equações e para simplificar vamos dividir a de cima pela de baixo:

$\frac{4\pi.r+2\pi.h}{2\pi.r}=\frac{\lambda.(2\pi.r.h)}{\lambda(\pi.r^2)}$

$2+\frac{h}{r}=\frac{2h}{r}$

$2=\frac{2h}{r}-\frac{h}{r}$

$2=\frac{h}{r}$

$h=2r$

Então temos a nossa condição, para esta área ser minima, precisamos que a altura seja duas vezes o raio.

Se quisermos encontrar as respostas em função do volume dado, bastaria substituir a altura "h" na formula do volume, mas acredito que a respostas em função das dimensões seja mais expressiva.