Question

como eu determino o valor de k para que a equação: 2x² - (k - 2) . x + k = 0 tenha só uma raiz real

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Peixinha, que a resolução é simples,principalmente após havermos resolvido aquela questão sua sobre a importância do discriminante em equações do 2º grau.
Está sendo pedido para determinar o valor de "k" para que a equação abaixo tenha apenas uma raiz real (ou seja tenha uma raiz real dupla: x' = x''. Lembra?):

2x² - (k-2)x + k = 0

Você deve lembrar também que que uma equação do 2º grau terá uma raiz dupla (x' = x'') quando o seu discriminante (Δ) for igual a zero.

Veja que os coeficientes da sua questão bem como o discriminante (Δ) são estes:

a = 2 --- (é o coeficiente de x²)
b = -(k-2) --- (é o coeficiente de x)
c =  k ---- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b²-4ac = [-(k-2)]² - 4*2*k ----- Então vamos impor que este Δ seja igual a zero, para que a equação dada tenha uma raiz real (x' = x''). Fazendo isso, teremos:

[-(k-2)]² - 4*2*k = 0 ----- desenvolvendo, teremos:
[k²-4k+4] - 8k = 0 ---- retirando-se os colchetes, teremos:
k² - 4k + 4 - 8k = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
k² - 12k + 4 = 0 ---- Agora vamos aplicar Bháskara , cuja fórmula é esta (o que você já viu na sua mensagem anterior, lembra?):

k = [-b±√(Δ)]/2*a ---- note que os coeficientes e o discriminante (Δ) da função acima são estes:

a = 1 ---- (é o coeficiente de k²)
b = -12 --- (é o coeficiente de k)
c = 4 ----- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b²-4ac = (-12)² - 4*1*4 = 144 - 16 = 128

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:

k = [-(-12)±√(128)]/2*1
k = [12±√(128)]/2 --- veja que 128 = 2⁷ = 2².2².2².2¹ = 2².2².2².2.Logo:
k = [12±√(2².2².2².2)]/2 --- note que os "2" que estão ao quadrado sairão de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:

k = [12 ± 2.2.2√(2)]/2
k = [12 ± 8√(2)]/2 --- simplificando-se cada fator por "2", ficaremos apenas com:
k = 6 ±  4√2 ----- daqui você conclui que "k" poderá ser um dos seguintes valores, para que a equação originalmente dada tenha apenas uma raiz real:

k' = 6 - 4√2
ou
k'' = 6 + 4√2

Pronto. Os possíveis valores de "k" são os que demos aí em cima para que a equação originalmente dada tenha apenas uma raiz real (x' = x''). Em outras palavras:
se k = 6 - 4√2, ou se k = 6 + 4√2 a equação originalmente dada terá apenas uma raiz real.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.