Como escrever o gráfico dessa função que foi proposta num vestibular chamado Escola Naval? f(x) = x - 2arc tg(x).
Soluções para a tarefa
Temos a função: f(x) = x - 2arctg(x)
Para traçar seu gráfico, podemos utilizar os testes da primeira e segunda derivadas, a fim de encontrar os máximos e mínimos locais, bem como os pontos de inflexão.
f(x) = x-2.arctg(x)
f'(x) = 1 - 2.(1/x²+1) = 1 -2/x²+1
f''(x) = -2.(-2x/(x²+1)²) = 4x/(x²+1)²
Igualando f'(x) a 0.
0 = 1 - 2/x²+1
1 = 2/x²+1
x²+1 = 2
x² = 1
x = ±1
O domínio da função arctg(x) são todos os reais, portanto não há restrições para valores de x. Logo, analisando o sinal da função:
x < -1 ou x > 1 , f'(x) = +
-1 < x < 1 , f'(x) = -
(1 é um ponto de mínimo, -1 é um ponto de máximo)
Igualando a 2° derivada a 0.
4x/(x²+1)² = 0
4x = 0
x = 0 (é um ponto de inflexão)
Estudando o sinal,
x < 0 , f''(x) = decrescente
x > 0 , f''(x) = crescente
Com todas essas informações, conseguimos esboçar o gráfico.
Para x = 1, e x = -1
f(1) = 1-2.arctg1 = 1 - 2.π/4 = 1 - π/2 = 2-π/2 ≈ -0,6
f(-1) = -1 - 2.arctg(-1) = -1 -2.(-π/4) = -1 + π/2 = -2+π/2 ≈ 0,6
Os pontos de encontro com o gráfico serão 3, mas imediatamente conseguimos encontrar um deles, igualando f(x) a 0.
0 = x-2.arctg(x)
x = 2.arctg(x)
x/2 = arctg(x)
Para x = 0,
0/2 = arctg(0)
0 = 0
(0,0) é um ponto
Veja o gráfico abaixo e analise de acordo com os intervalos de crescimento e decrescimento da função que foram obtidos com os testes da 1° e 2° derivada. Perceba que os resultados foram exatamente o que esperávamos.
Resposta: Com o auxílio do Cálculo Diferencial.
Explicação passo-a-passo:
Primeiramente, nos foi dada a função , cujo domínio é . Com isso, vamos calcular, a título de curiosidade, o valor de . Sendo assim, é dado por:
⇒
⇒
Portanto, está provado que a representação gráfica de passa pela origem do sistema cartesiano, ou seja, pelo ponto . Com o intuito de conhecer mais sobre a curva representativa do gráfico de , calcularemos o valor da função derivada primeira da função . Derivando, temos:
⇒
⇒
⇒
⇒
Percebe-se que a derivada primeira de é . Sendo assim, vamos utilizar os conceitos existentes sobre a derivada de primeira ordem e com isso encontrar em quais intervalos a função é crescente ou decrescente. Também é de fundamental importância encontrar os valores reais de que anulam , também chamados pontos críticos. Fazendo , temos:
⇒
⇒
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De temos que a representação cartesiana de é crescente para ou . Procedendo de modo análogo ao explícito acima, temos que ao fazer , chega-se ao fato de que a função é decrescente para . Ou seja, decresce para . Os pontos críticos serão os valores de que tornam verdadeira a equação . Ou seja, são . Ao realizar o teste da derivada primeira, percebe-se que é abscissa de um ponto de mínimo local e é a de um outro de máximo local. Agora, vamos derivar um única vez e explorar as concavidades de . O que é equivalente a fazer , e . Derivando , temos , que por sua vez reduz-se a seguinte expressão:
De temos que a curva que representa o gráfico de é côncava para cima, quando , ou seja, para . É côncava para baixo, quando , o que equivale a . Também de , é claramente perceptível que o ponto é ponto de inflexão, pois é o único valor real que zera a expressão . Com isso, a curva muda de concavidade assim que passa pela origem do sistema cartesiano. Resumindo: A curva representativa do gráfico de passa pelo ponto , tem mínimo local em e máximo local em . É crescente no intervalo e decrescente em . Tem o ponto como o único ponto de inflexão, é côncava para baixo em e côncava para cima no intervalo .
Abraços!