Question

Como escrever o gráfico dessa função que foi proposta num vestibular chamado Escola Naval? f(x) = x - 2arc tg(x).

Answer 1

Temos a função: f(x) = x - 2arctg(x)

Para traçar seu gráfico, podemos utilizar os testes da primeira e segunda derivadas, a fim de encontrar os máximos e mínimos locais, bem como os pontos de inflexão.

f(x) = x-2.arctg(x)

f'(x) = 1 - 2.(1/x²+1) = 1 -2/x²+1

f''(x) = -2.(-2x/(x²+1)²) = 4x/(x²+1)²

Igualando f'(x) a 0.

0 = 1 - 2/x²+1

1 = 2/x²+1

x²+1 = 2

x² = 1

x = ±1

O domínio da função arctg(x) são todos os reais, portanto não há restrições para valores de x. Logo, analisando o sinal da função:

x < -1 ou x > 1 , f'(x) = +  

-1 < x < 1 , f'(x) = -

(1 é um ponto de mínimo, -1 é um ponto de máximo)

Igualando a 2° derivada a 0.

4x/(x²+1)² = 0

4x = 0

x = 0  (é um ponto de inflexão)

Estudando o sinal,

x < 0 , f''(x) = decrescente

x > 0 , f''(x) = crescente

Com todas essas informações, conseguimos esboçar o gráfico.

Para x = 1, e x = -1

f(1) = 1-2.arctg1 = 1 - 2.π/4 = 1 - π/2 = 2-π/2 ≈ -0,6

f(-1) = -1 - 2.arctg(-1) = -1 -2.(-π/4) = -1 + π/2 = -2+π/2 ≈ 0,6

Os pontos de encontro com o gráfico serão 3, mas imediatamente conseguimos encontrar um deles, igualando f(x) a 0.

0 = x-2.arctg(x)

x = 2.arctg(x)

x/2 = arctg(x)

Para x = 0,

0/2 = arctg(0)

0 = 0

(0,0) é um ponto

Veja o gráfico abaixo e analise de acordo com os intervalos de crescimento e decrescimento da função que foram obtidos com os testes da 1° e 2° derivada. Perceba que os resultados foram exatamente o que esperávamos.

Answer 2

Resposta: Com o auxílio do Cálculo Diferencial.

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, nos foi dada a função $f(x)=x-2\cdot arc\ tg(x)$, cujo domínio é $D(f(x))=\mathbb{R}$. Com isso, vamos calcular, a título de curiosidade, o valor de $f(0)$. Sendo assim, $f(0)$ é dado por:

$f(0) = 0-2\cdot arc tg(0)$  ⇒

$f(0)= 0-2\cdot 0$  ⇒

$f(0)=0$

Portanto, está provado que a representação gráfica de $f(x)=x-2\cdot arc\ tg(x)$ passa pela origem do sistema cartesiano, ou seja, pelo ponto $P''=(0,f(0))=(0,0)$. Com o intuito de conhecer mais sobre a curva representativa do gráfico de $f$, calcularemos o valor da função derivada primeira $f'(x)$ da função $f(x)=x-2\cdot arc\ tg(x)$. Derivando, temos:

$f(x)=x-2\cdot arc\ tg(x)$  ⇒

$f'(x)=(x-2\cdot arc\ tg(x))'$  ⇒

$f'(x)=(x)'-2(arc tg(x))'\ ^{*}$  ⇒

$f'(x)=1-2\cdot (\frac{1}{1+x^{2}})$  ⇒

$f'(x)=1-\frac{2}{(1+x^{2})}$

Percebe-se que a derivada primeira de $f(x)$ é $f'(x)=1-\frac{2}{(1+x^{2})}$. Sendo assim, vamos utilizar os conceitos existentes sobre a derivada de primeira ordem e com isso encontrar em quais intervalos $I\subset D(f(x))=\mathbb{R}$ a função é crescente ou decrescente. Também é de fundamental importância encontrar os valores reais de $x$ que anulam $f'(x)$, também chamados pontos críticos. Fazendo $f'(x)=1-\frac{2}{(1+x^{2})}>0$, temos:

$f'(x)>0$  ⇒

$1-\frac{2}{(1+x^{2})}>0$  ⇒

$1>\frac{2}{(1+x^{2})}\ \ e\ \ (1+x^{2})>0,\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}$  ⇒

$1\cdot (1+x^{2})>\frac{2}{(1+x^{2})}\cdot (1+x^{2})}\ \ e\ \ (1+x^{2})\neq 0$  ⇒

$x^{2}+1>2$  ⇒

$x^{2}>1\ \ e\ \ x^{2}\geq 0,\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}$  ⇒

$\sqrt{x^{2}}>\sqrt{1}$  ⇒

$|x|>1$  ⇒

$x>1\ \ ou\ \ x<-1\ \ \ (i)$

De $(i)$ temos que a representação cartesiana de $f(x)=x-2\cdot arc\ tg(x)$ é crescente para $x>1$ ou $x<-1$. Procedendo de modo análogo ao explícito acima, temos que ao fazer $f'(x)=1-\frac{2}{(1+x^{2})}<0$, chega-se ao fato de que a função é decrescente para $|x|<1$. Ou seja, decresce para $-1<x<1$. Os pontos críticos serão os valores de $x$ que tornam verdadeira a equação $f'(x)=1-\frac{2}{(1+x^{2})}=0$. Ou seja, são $x=1\ \ ou\ \ x=-1$. Ao realizar o teste da derivada primeira, percebe-se que $x=1$ é abscissa de um ponto de mínimo local e $x=-1$ é a de um outro de máximo local.  Agora, vamos derivar $f'(x)$ um única vez e explorar as concavidades de $f$. O que é equivalente a fazer $f''(x)>0$, $f''(x)=0$ e $f''(x)<0$. Derivando $f'(x)$, temos $(f'(x))'=f''(x)$, que por sua vez reduz-se a seguinte expressão:

$f''(x)=\frac{4x}{(1+x^{2})^{2}}\ \ \ (ii)$

De $(ii)$ temos que a curva que representa o gráfico de $f(x)=x-2\cdot arc\ tg(x)$ é côncava para cima, quando $f''(x)=\frac{4x}{(1+x^{2})^{2}}>0$, ou seja, para $x>0$. É côncava para baixo, quando $f''(x)=\frac{4x}{(1+x^{2})^{2}}<0$, o que equivale a $x<0$. Também de $(ii)$, é claramente perceptível que o ponto $P''=(0,f(0))=(0,0)$ é ponto de inflexão, pois $x=0$ é o único valor real que zera a expressão $(ii)$. Com isso, a curva muda de concavidade assim que passa pela origem do sistema cartesiano. Resumindo: A curva representativa do gráfico de $f(x)=x-2\cdot arc\ tg(x)$ passa pelo ponto $P''=(0,0)$, tem mínimo local em $P'=(1,f(1))$ e máximo local em $P=(-1,f(-1))$. É crescente no intervalo $I=\ ]-\infty,-1[\ \cup\ ]1,+\infty[\ =(-\infty,-1)\ \cup\ (1,+\infty)$ e decrescente em $I'=\ ]-1,1[\ =(-1,1)$. Tem o ponto $P''=(0,0)$ como o único ponto de inflexão, é côncava para baixo em $I''=\ ]-\infty,0[\ =(-\infty,0)$ e côncava para cima no intervalo $I'''=\ ]0,+\infty[\ =(0,+\infty)$.

$^{*}(arc\ tg(f(x)))'=\frac{1}{1+f^{2}(x)}\cdot f'(x)$

Abraços!