Matemática, perguntado por rebecaestivaletesanc, 11 meses atrás

Como escrever o gráfico dessa função que foi proposta num vestibular chamado Escola Naval? f(x) = x - 2arc tg(x).


Usuário anônimo: Opaaa
rebecaestivaletesanc: Existe algum jeito de fazer por translação e sem usar derivada? Por exemplo a função f(x) = x² + 2. O gráfico dessa função é o de g(x) = x² transladado duas unidades para cima no eixo y. E o gráfico da função z(x) = (x-1)² é o de f(x) = x² transladado uma unidade para a direita no eixo x.
Usuário anônimo: Até agora eu só vi por derivada mesmo.
Usuário anônimo: Se existe algum outro jeito eu não enxerguei kk.
Usuário anônimo: Pelo menos não antes de dar uma boa pensada sobre
Usuário anônimo: O fato de mexer com função trigonométrica inversa pode ser que dificulte mt uma resolução desse tipo. Por derivada acho que é o melhor jeito mesmo, ao passo que arc tg(x) tem uma derivada até bonitinha kk
Usuário anônimo: Fofa, uma questão desse tipo, vem, em grande maioria dos casos, com as alternativas correspondentes. Assim como na outra que eu postei a foto. Não é muito interessante achar os interceptos com o eixo Ox, ao passo que surge uma equação transcendente x =2arc tg(x).
Usuário anônimo: Com isso, ela apenas quer que vc descubra os possíveis intervalos de crescimento, decrescimento, pontos críticos, de inflexão e intervalos relacionados à concavidades da curva. No entanto, a questão meio que te empurra a resolver com o Cálculo Diferencial.
Usuário anônimo: A Escola Naval cobra bastante Cálculo mesmo.

Soluções para a tarefa

Respondido por juanbomfim22
5

Temos a função: f(x) = x - 2arctg(x)

Para traçar seu gráfico, podemos utilizar os testes da primeira e segunda derivadas, a fim de encontrar os máximos e mínimos locais, bem como os pontos de inflexão.

f(x) = x-2.arctg(x)

f'(x) = 1 - 2.(1/x²+1) = 1 -2/x²+1

f''(x) = -2.(-2x/(x²+1)²) = 4x/(x²+1)²

Igualando f'(x) a 0.

0 = 1 - 2/x²+1

1 = 2/x²+1

x²+1 = 2

x² = 1

x = ±1

O domínio da função arctg(x) são todos os reais, portanto não há restrições para valores de x. Logo, analisando o sinal da função:

x < -1 ou x > 1 , f'(x) = +  

-1 < x < 1 , f'(x) = -

(1 é um ponto de mínimo, -1 é um ponto de máximo)

Igualando a 2° derivada a 0.

4x/(x²+1)² = 0

4x = 0

x = 0  (é um ponto de inflexão)

Estudando o sinal,

x < 0 , f''(x) = decrescente

x > 0 , f''(x) = crescente

Com todas essas informações, conseguimos esboçar o gráfico.

Para x = 1, e x = -1

f(1) = 1-2.arctg1 = 1 - 2.π/4 = 1 - π/2 = 2-π/2 ≈ -0,6

f(-1) = -1 - 2.arctg(-1) = -1 -2.(-π/4) = -1 + π/2 = -2+π/2 ≈ 0,6

Os pontos de encontro com o gráfico serão 3, mas imediatamente conseguimos encontrar um deles, igualando f(x) a 0.

0 = x-2.arctg(x)

x = 2.arctg(x)

x/2 = arctg(x)

Para x = 0,

0/2 = arctg(0)

0 = 0

(0,0) é um ponto

Veja o gráfico abaixo e analise de acordo com os intervalos de crescimento e decrescimento da função que foram obtidos com os testes da 1° e 2° derivada. Perceba que os resultados foram exatamente o que esperávamos.

Anexos:

juanbomfim22: Há também as funções inversas do seno, cosseno, representadas por : arcsen e arccos, respectivamente. Na verdade as mais comuns são arcsen, arccos e arctg, no entanto, existem diversas outras inversas de funções trigonométricas (arccsc, arcsec, arccot, arcsenh,arccosh,arctgh...)
ParkJiminchu: Eu fiz a conta! Os pontos foram iguais, agora o gráfico que não ficou igual
juanbomfim22: Em quais partes está diferente?
ParkJiminchu: foi mal aí
ParkJiminchu: mas
ParkJiminchu: eu não sei explicar
juanbomfim22: 1 é ponto de mínimo e -1 é de máximo. a função cresce nas extremidades e decresce entre -1 e 1
rebecaestivaletesanc: Obrigada Juan, tá certinho. A opção aqui na prova é letra a e é o mesmo gráfico da sua solução.
Usuário anônimo: Está corretíssimo. Só um detalhe: O gráfico está completamente fora de escala. Talvez seja por isso que o gráfico do ParkJiminchu ficou diferente.
ParkJiminchu: hmmmmm
Respondido por Usuário anônimo
4

Resposta: Com o auxílio do Cálculo Diferencial.

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, nos foi dada a função f(x)=x-2\cdot arc\ tg(x), cujo domínio é D(f(x))=\mathbb{R}. Com isso, vamos calcular, a título de curiosidade, o valor de f(0). Sendo assim, f(0) é dado por:

f(0) = 0-2\cdot arc tg(0)  ⇒

f(0)= 0-2\cdot 0  ⇒

f(0)=0

Portanto, está provado que a representação gráfica de f(x)=x-2\cdot arc\ tg(x) passa pela origem do sistema cartesiano, ou seja, pelo ponto P''=(0,f(0))=(0,0). Com o intuito de conhecer mais sobre a curva representativa do gráfico de f, calcularemos o valor da função derivada primeira f'(x) da função f(x)=x-2\cdot arc\ tg(x). Derivando, temos:

f(x)=x-2\cdot arc\ tg(x)  ⇒

f'(x)=(x-2\cdot arc\ tg(x))'  ⇒

f'(x)=(x)'-2(arc tg(x))'\ ^{*}  ⇒

f'(x)=1-2\cdot (\frac{1}{1+x^{2}})  ⇒

f'(x)=1-\frac{2}{(1+x^{2})}

Percebe-se que a derivada primeira de f(x) é f'(x)=1-\frac{2}{(1+x^{2})}. Sendo assim, vamos utilizar os conceitos existentes sobre a derivada de primeira ordem e com isso encontrar em quais intervalos I\subset D(f(x))=\mathbb{R} a função é crescente ou decrescente. Também é de fundamental importância encontrar os valores reais de x que anulam f'(x), também chamados pontos críticos. Fazendo f'(x)=1-\frac{2}{(1+x^{2})}&gt;0, temos:

f'(x)&gt;0  ⇒

1-\frac{2}{(1+x^{2})}&gt;0  ⇒

1&gt;\frac{2}{(1+x^{2})}\ \ e\ \ (1+x^{2})&gt;0,\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}  ⇒

1\cdot (1+x^{2})&gt;\frac{2}{(1+x^{2})}\cdot (1+x^{2})}\ \ e\ \ (1+x^{2})\neq 0  ⇒

x^{2}+1&gt;2  ⇒

x^{2}&gt;1\ \ e\ \ x^{2}\geq 0,\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}  ⇒

\sqrt{x^{2}}&gt;\sqrt{1}  ⇒

|x|&gt;1  ⇒

x&gt;1\ \ ou\ \ x&lt;-1\ \ \ (i)

De (i) temos que a representação cartesiana de f(x)=x-2\cdot arc\ tg(x) é crescente para x&gt;1 ou x&lt;-1. Procedendo de modo análogo ao explícito acima, temos que ao fazer f'(x)=1-\frac{2}{(1+x^{2})}&lt;0, chega-se ao fato de que a função é decrescente para |x|&lt;1. Ou seja, decresce para -1&lt;x&lt;1. Os pontos críticos serão os valores de x que tornam verdadeira a equação f'(x)=1-\frac{2}{(1+x^{2})}=0. Ou seja, são x=1\ \ ou\ \ x=-1. Ao realizar o teste da derivada primeira, percebe-se que x=1 é abscissa de um ponto de mínimo local e x=-1 é a de um outro de máximo local.  Agora, vamos derivar f'(x) um única vez e explorar as concavidades de f. O que é equivalente a fazer f''(x)&gt;0, f''(x)=0f''(x)&lt;0. Derivando f'(x), temos (f'(x))'=f''(x), que por sua vez reduz-se a seguinte expressão:

f''(x)=\frac{4x}{(1+x^{2})^{2}}\ \ \ (ii)

De (ii) temos que a curva que representa o gráfico de f(x)=x-2\cdot arc\ tg(x) é côncava para cima, quando f''(x)=\frac{4x}{(1+x^{2})^{2}}&gt;0, ou seja, para x&gt;0. É côncava para baixo, quando f''(x)=\frac{4x}{(1+x^{2})^{2}}&lt;0, o que equivale a x&lt;0. Também de (ii), é claramente perceptível que o ponto P''=(0,f(0))=(0,0) é ponto de inflexão, pois x=0 é o único valor real que zera a expressão (ii). Com isso, a curva muda de concavidade assim que passa pela origem do sistema cartesiano. Resumindo: A curva representativa do gráfico de f(x)=x-2\cdot arc\ tg(x) passa pelo ponto P''=(0,0), tem mínimo local em P'=(1,f(1)) e máximo local em P=(-1,f(-1)). É crescente no intervalo I=\ ]-\infty,-1[\ \cup\ ]1,+\infty[\ =(-\infty,-1)\ \cup\ (1,+\infty) e decrescente em I'=\ ]-1,1[\ =(-1,1). Tem o ponto P''=(0,0) como o único ponto de inflexão, é côncava para baixo em I''=\ ]-\infty,0[\ =(-\infty,0) e côncava para cima no intervalo I'''=\ ]0,+\infty[\ =(0,+\infty).

^{*}(arc\ tg(f(x)))'=\frac{1}{1+f^{2}(x)}\cdot f'(x)

Abraços!

Anexos:

Usuário anônimo: :)
rebecaestivaletesanc: Luana o traçado do gráfico saiu exatamente igual ao da prova cuja resposta é o item "a". Depois da abcissa 2 o crescimento é lento, conforme vc descreve no desenhe do gráfico. Obrigada meu anjo vc foi tudo de bom que apareceu aqui na minha vida nesse Brainly. Bjs e boa noite.
rebecaestivaletesanc: Mais uma vez te agradeço pelo carinho e a boa vontade em me ajudar. Já ia desligar, mas vi uma coisa alí em cima que vc escreveu que me assustou e entristeceu: "Vou sair aqui✌". Por que vc escreveu isso? Vc vai saír do Brainly?
Usuário anônimo: Quanto tempo msm em Juan rsrs
Usuário anônimo: Nãooooooooo rsrsr
Usuário anônimo: Eu não vou sair do Brainly
Usuário anônimo: Tava falando com o ParkJiminchu e me referi a uma saída momentânea rsrs
Usuário anônimo: Não fique triste, a Luana ainda vai estar por aqui viu rsrsrsrsrs
Usuário anônimo: Rebequinha, eu realmente nem sei o que te dizer rsrs. Também só tenho a agradecer pelo carinho e consideração que tem por mim. Fico feliz em poder te ajudar e espero continuar te ajudando sempre que for possível.
Usuário anônimo: Bjusssssss!!!
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