Question

como encontrar o termo geral dessa sequencia (2,2,8/3,4,32/5...)

Answer 1

Bom, o padrão que se segue não está tão óbvio, mas vou deixar explícito e você vai entender:


A sequência $(a_{n})$ dada é

$\left(2,\;2,\;\dfrac{8}{3},\;4,\;\dfrac{32}{5},\;\ldots\right)$


O que me chamou atenção foram o terceiro e o quinto termo:

$a_{3}=\dfrac{8}{3}=\dfrac{2^{3}}{3}\\ \\ \\ a_{5}=\dfrac{32}{5}=\dfrac{2^{5}}{5}$


Aí, fui testar para ver se os outros termos seguiam o mesmo padrão. Observe que podemos reescrever a sequência da seguinte forma:

$\left(\dfrac{2}{1},\;\dfrac{4}{2},\;\dfrac{8}{3},\;\dfrac{16}{4},\;\dfrac{32}{5},\;\ldots \right )$


que é equivalente a

$\left(\dfrac{2^{1}}{1},\;\dfrac{2^{2}}{2},\;\dfrac{2^{3}}{3},\;\dfrac{2^{4}}{4},\;\dfrac{2^{5}}{5},\;\ldots,\;\dfrac{2^{k}}{k},\;\ldots \right )$


Dessa forma, concluímos que a lei de formação da sequência é

$\boxed{\begin{array}{c}a_{n}=\dfrac{2^{n}}{n} \end{array}}\;\;\;\;\;\;\;\text{com }n=1,\;2,\;3,\;\ldots$