Question

Como encontrar a imagem da seguinte função:

f(x) = |x+1| - |5-x|

Se possível, gostaria da explicação tbm hehe

Answer 1

Olá, Danndrt.

Imagem é o subconjunto dos números reais que contém todos os valores de f(x).

1) Se x + 1 < 0, temos que - x - 1 > 0 ⇒ - x > 1 ⇒ 5 - x > 5 + 1 ⇒ 5 - x > 6
Assim, temos que: f(x) = - (x + 1) - (5 - x) = - x - 1 - 5 + x = -6

2) Se x + 1 ≥ 0, temos que - x - 1 ≤ 0 ⇒ - x ≤ 1 ⇒ 5 - x ≤ 6
2.1) Se 0 ≤ 5 - x ≤ 6, temos que: f(x) = (x + 1) - (5 - x) = x + 1 - 5 + x = 2x - 4
2.2) Se 5 - x < 0, temos que: f(x) = (x + 1) - [-(5 - x)] = x + 1 + 5 - x = 6

Assim, temos que:
1) Se x + 1 < 0 ⇒ x < -1 ⇒ Im = {-6}
2) Se x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1:
2.1) Se 0 ≤ 5 - x ≤ 6 ⇒ 0 ≥ x - 5 ≥ -6 ⇒ -6 ≤ x - 5 ≤ 0 ⇒
-6 + 5 ≤ x - 5 + 5 ≤ 0 + 5 ⇒ -1 ≤ x ≤ 5 ⇒ f(x) = 2x - 4 ⇒ f(x) ∈ [f(-1),f(5)] ⇒
f(x) ∈ [-6,6]
2.2) Se 5 - x < 0 ⇒ - x < -5 ⇒ x > 5 ⇒ Im = {6}

A imagem de f(x), portanto, é a união de todas as imagens de cada possibilidade analisada acima, ou seja: Im = {-6} ∪ [-6,6] ∪ {6} ⇒

$\boxed{Im=[-6,6]=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-6\leq\,x\leq6\}}$