Question

Como encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica?

Answer 1

(1) Iguale a dízima periódica em questão a uma letra (por exemplo $x$);


(2) Multiplique $x$ por $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$, etc. A escolha de por qual destes números multiplicar vai depender de quantos algarismos tem a parte que se repete:
 
     se tiver $1$ algarismo, multiplique por $10$;  
     se tiver $2$ algarismos, multiplique por $100$;
     se tiver $3$ algarismos, multiplique por $1\,000$;
     se tiver $4$ algarismos, multiplique por $10\,000$;

e assim sucessivamente.


(3) Subtraia $x$ do valor multiplicado no passo anterior

(4) Resolva a equação obtida e encontre o valor de $x$. Se necessário, faça multiplicações ou divisões do numerador e do denominador por um mesmo número, para que eles sejam inteiros, e simplificar a fração obtida.


Exemplos:

a) $1,333\ldots$:

Como a parte que se repete tem apenas $1$ algarismo (o $3$), então multiplicamos por $10$.

$x=1,333\ldots\\ \\ 10x=13,333\ldots\\ \\ \\ 10x-x=13,\mathbf{333}\ldots-1,\mathbf{333}\ldots$


A parte destacada em negrito se cancela, e ficamos com

$9x=13-1\\ \\ 9x=12\\ \\ x=\dfrac{12}{9}\\ \\ x=\dfrac{12 \div 3}{9 \div 3}\\ \\ x=\dfrac{4}{3}\Rightarrow \boxed{1,333\ldots=\dfrac{4}{3}}$


b) $2,17373\ldots$:

A parte que se repete é $73$, que tem $2$ algarismos. Logo, devemos multiplicar por $100$:

$x=2,17373\ldots\\ \\ 100x=217,37373\ldots\\ \\ \\ 100x-x=217,3\mathbf{7373}\ldots - 2,1\mathbf{7373}\ldots$


A parte destacada em negrito se cancela, e ficamos com

$99x=217,3-2,1\\ \\ 99x=215,2\\ \\ x=\dfrac{215,2}{99}\\ \\ x=\dfrac{215,2 \times 10}{99 \times 10}\\ \\ x=\dfrac{2\,152}{990}\\ \\ x=\dfrac{2\,152 \div 2}{990 \div 2}\\ \\ x=\dfrac{1\,076}{495}\Rightarrow \boxed{2,17373\ldots = \dfrac{1\,076}{495}}$