Question

como encontrar

a derivada f (x) = cot g(x) → f(x) = cos(x)\sen(x)

Answer 1

Após aplicação das Técnicas de Derivação, podemos concluir que a resposta correta é:

$\large\boxed{\boxed{\sf{f'(x)=-\;cossec^2(x)}}}$

Para encontrar a derivada da função mostrada no enunciado, devemos aplicar a regra da derivada para o quociente, a qual nos diz que: Dada a razão entre duas funções, f(x) e g(x), a derivada desta razão é dada por:

$\sf{\dfrac{dy}{dx}\;\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}}$

Aplicando esta regra na função acima, teremos:

$\sf{\dfrac{dy}{dx}\;\left[\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right]=\dfrac{[cos(x)]'\cdot sen(x)-cos(x)\cdot [sen(x)]'}{[sen(x)]^2}}\\\\\\\sf{\dfrac{dy}{dx}\;\left[\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right]=\dfrac{(-sen(x))\cdot sen(x)-cos(x)\cdot cos(x)}{sen^2(x)}}\\\\\\\sf{\dfrac{dy}{dx}\;\left[\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right]=\dfrac{-sen^2(x)-cos^2(x)}{sen^2(x)}}\\\\\\\sf{\dfrac{dy}{dx}\;\left[\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right]=\dfrac{-(sen^2(x)+cos^2(x))}{sen^2(x)}}$

Aplicaremos agora a identidade fundamental da trigonometria:

$\large\boxed{\boxed{\sf{sen^2(x)+cos^2(x)=1}}}$

Vejamos:

$\sf{\dfrac{dy}{dx}\;\left[\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right]=\dfrac{-(sen^2(x)+cos^2(x))}{sen^2(x)}}\\\\\\\sf{\dfrac{dy}{dx}\;\left[\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right]=\dfrac{-1}{sen^2(x)}}$

Aplicaremos agora a seguinte identidade trigonométrica:

$\large\boxed{\boxed{\sf{\dfrac{1}{sen^2(x)}=cossec^2(x)}}}$

Vejamos:

$\sf{\dfrac{dy}{dx}\;\left[\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right]=\dfrac{-1}{sen^2(x)}}\\\\\\\sf{\dfrac{dy}{dx}\;\left[\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right]=-\left[\dfrac{1}{sen^2(x)}\right]}\\\\\\\sf{\dfrac{dy}{dx}\;\left[\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\right]=-cossec^2(x)}$

Espero que te ajude!!

Bons estudos!!

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