Question

Como é que resolvo esta equação?
${z}^{4} = {e}^{i \frac{2\pi}{3} }$
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Answer 1

Resposta:

Solução:

$\displaystyle \sf z^4 = e^{i \:\frac{2\pi}{3}}$

Aplicando as propriedades dos números complexos, temos:

$\displaystyle \sf e^{ia \pi} = (-1)^a$

Fazendo:

$\displaystyle \sf z ^2 = u ~ e ~ z^4 = u^2$

$\displaystyle \sf u^2 = (-1)^{\:\frac{2}{3} }$

Aplicando a propriedade dos expoentes, temos:

$\displaystyle \sf a^{\frac{m}{n} } = \left( a^{\frac{1}{n}} \right)^m$

$\displaystyle \sf (-1)^{ \frac{2}{3} } = \left[ (-\:1 )^{ \frac{1}{3} }\right ]^2$

$\displaystyle \sf (-1)^{\: ^\frac{2}{3} } = \left[-1 \right]^2$

$\displaystyle \sf (-1)^{\: ^\frac{2}{3} } = 1$

Voltando:

$\displaystyle \sf u^2 = (-1)^{\:\frac{2}{3} }$

$\displaystyle \sf u^2 = 1$

$\displaystyle \sf u = \pm\; \sqrt{1}$

$\displaystyle \sf u_1 = \sqrt{1}$

$\displaystyle \sf u_2 = -\: \sqrt{1}$

Voltando a condição:

$\displaystyle \sf z^2 = u_1$

$\displaystyle \sf z^2 = (\sqrt{1})$

$\displaystyle \sf z = \pm \; \sqrt{ \sqrt{1} }$

$\displaystyle \sf z = \pm \; \sqrt{ 1 }$

$\displaystyle \sf z = \pm \; 1$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf z_1 = 1 } \quad \gets$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf z_2 = -\:1 } \quad \gets$

$\displaystyle \sf z^2 = u_2$

$\displaystyle \sf z^2 = -\sqrt{1}$

$\displaystyle \sf z = \pm \; \sqrt{ -\sqrt{1}}$

$\displaystyle \sf z = \pm \; \sqrt{ -\:1}$

$\displaystyle \sf z = \pm \; \sqrt{ i^2}$

$\displaystyle \sf z = \pm \; i$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf z_3 = i} \quad \gets$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf z_4 = -\:i} \quad \gets$

Portanto a solução desta equação e:

$\sf \boldsymbol{ \displaystyle \sf S = \{1, -\; 1, i, - i \} }$

''Ser imparcial não significa não ter princípio, e sim profissional''.

                Willyan Taglialenha.

Explicação passo a passo:

$\displaystyle \sf i^{4n} = (i^4)^n = 1$

$\displaystyle \sf i^{4n+1} = (1^4)^n \cdot i^1 = 1 \cdot i = i$

$\displaystyle \sf i^{4n+p} = (i^4)^n \cdot i^p = 1 \cdot i^p = i^p$