Question

Como determinar o valor de k para que os pontos A(k, 3), B(0, k) e C(k+1, k-2) não formem um triângulo??

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cinaidilima,que a resolução é simples.
Se os pontos A(k; 3), B(0; k) e C(k+1; k-2) não formarão triângulo, então é porque esses pontos estarão alinhados (ou seja, são colineares).
E se são alinhados (ou colineares), então a matriz formada a partir das coordenadas dos vértices deverá ter determinante igual a zero.
Vamos formar a matriz e já deixá-la em forma de desenvolver (regra de Sarrus):

|k........3.....1|...k.......3|
|0........k.....1|...0.......k| = 0 ----- desenvolvendo, teremos:
|k+1...k-2...1|k+1...k-2|

k*k*1+3*1*(k+1)+1*0*(k-2) - [(k+1)*k*1+(k-2)*1*k+1*0*3] = 0
k² + 3k+3 + 0 - [k²+k +k²-2k + 0] = 0
k² + 3k + 3 - [2k² - k] = 0 ---- retirando-se os colchetes, teremos:
k² + 3k + 3 - 2k² + k = 0 ----- reduzindo os termos semelhantes, temos:
-k² + 4k + 3 = 0 ---- para facilitar, podemos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos:

k² - 4k - 3 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

k' =  2-√(7)
k'' = 2+√(7)

Pronto. A resposta é a que demos aí em cima, ou seja, para que os pontos dados NÃO formem triângulos, então "k" deverá ser igual a uma das raízes acima encontrados.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.