Question

COMO DESMOSTRA que a diferença entre duas primitivas, de uma mesma função, é uma constante.

Answer 1

Seja $f$ uma função de $x$ integrável qualquer com primitivas $\textrm{F}$ e $\textrm{G}$ arbitrárias. Imediatamente, temos

(i) $\frac{\textrm{dF}}{\textrm{d}x} = f(x)$;

(ii) $\frac{\textrm{dG}}{\textrm{d}x} = f(x)$.

Subtraindo as equações (i) e (ii),

$\frac{\textrm{dF}}{\textrm{d}x} - \frac{\textrm{dG}}{\textrm{d}x} = 0$.

Por linearidade ("a soma/subtração da derivada é a derivada da soma/subtração"), obtém-se

$\frac{\textrm{d(F - G)}}{\textrm{d}x} = 0$.

Ou seja, a diferença entre ${\textrm{F}$ e ${\textrm{G}$ possui derivada nula em todos os pontos. Isto acontece quando não há variação da função; ela é constante.

${\textrm{F - G} = {\textrm{C}$.

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