Question

Como descubro o domínio e a imagem de uma função do segundo grau, por exemplo f(x)= x²+10x+25?

Answer 1

O domínio de uma função nada mais é que o conjunto de todos os valores possíveis que podem ser adotados para 'x' e a imagem é o conjunto de todos os valores possíveis para f(x), isto é, todos os valores correspondentes de f(x) ao ser adotado todos os valores do conjunto domínio.

Para essa função não há restrições quanto aos valores de 'x', portanto o conjunto domínio (D(f)) são todos os números reais.

$D_{(f)}=\mathbb{R}$

Se você construir o gráfico dessa função, observará que a parábola está voltada para cima (pois o coeficiente 'a' = 1 é positivo) e que ela, portanto, tem um ponto de mínimo, o vértice da parábola. "Abaixo" deste ponto não há mais valores que possam ser adotados para 'y' (f(x)) afim de se obter valores para 'x'. Logo, o conjunto imagem dessa função corresponde à todos os valores superiores ao valor de 'y' desse ponto, incluindo este valor de 'y'.

Fórmula de 'y' do vértice:

$y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}$

Para determinarmos o valor de 'y' do vértice, vamos substituir os valores dos coeficientes na fórmula.

$y_v=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\\\\\\y_v=-\dfrac{(10)^2-4\cdot{(1)}\cdot{(25)}}{4\cdot{(1)}}\\\\\\y_v=-\dfrac{100-100}{4}\\\\y_v=-\dfrac{0}{4}\\\\y_v=0$

Portanto, o conjunto imagem da função é:

$\boxed{Im_{(f)}=\{f(x)\in\mathbb{R}\ |\ x\ge0\}}\qquad\text{ ou }\qquad\boxed{Im_{(f)}=[0,\ +\infty[}$