Question

Como descubro a razão?

Somando o trigésimo termo com o quinquagésimo termo da seqüência (1, 0, 3, 10, 21,…), obtemos: 

Answer 1

Se você prestar bem atenção verá que a diferença de termos consecutivos forma uma PA; a esse tipo de sequência damos o nome de "PA de segunda ordem". Note que:

0 - 1 = -1
3 - 0 = 3
10 - 3 = 7
21 - 10 = 11

E essas diferenças formam a PA (-1, 3, 7, 11, ...), onde $b_1 = -1$ e r=4. Vou chamar os termos da PA de $b_i$ e os da PA de segunda ordem, $a_i$; temos que $a_1 = 1$.
Perceba o seguinte:

$a_2-a_1=b_1 \\ a_3-a_2=b_2 \\ a_4-a_3=b_3 \\ \ldots \\ a_n-a_{n-1}=b_{n-1}$

Daí, somando essas n-1 igualdades. chegamos à fórmula do termo geral da PA de 2ª ordem:

$\boxed{a_n = a_1 + b_1(n-1) + \frac{r(n-1)(n-2)}{2}}$ (usei uma outra fórmula da soma dos termos da PA, a que envolve $a_1$ e r)

Como queremos saber a soma dos termos de ordem 30 e 50 temos que fazer n=30 e n=50 na fórmula acima. Daí:

$a_{30} = 1 + (-1).29 + \frac{4.29.28}{2} \Rightarrow a_{30}=1-29+1624 \Rightarrow a_{30} = 1596 \\ \\ a_{50}=1 + (-1).49 + \frac{4.49.48}{2} \Rightarrow a_{50}=1-49 + 4704 \Rightarrow a_{50}=4656$

Agora é só somar as duas crianças encontradas acima:

$a_{30}+a_{50}=1596+4656 \Rightarrow \boxed{\boxed{a_{30}+a_{50} = 6252}}$