Question

Como calcular esse limite?
$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{3*5*7*...*(2n+1)}$

Não posso usar l'hospital pq nao é possivel derivar o n!, mas tbm nao sei como encontrar funções adequadas para aplicar o teorema do confronto para séries.

Answer 1

Seja a seguinte sequência dada pelo termo geral

$a_{n}=\dfrac{n!}{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot (2n+1)},\;\;\;n=1,\,2,\,3,\ldots$


Forma 1:

Consideremos a série $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_{n}}.$ Se conseguirmos mostrar que esta série converge, então necessariamente o limite do termo geral $a_{n}$ é zero.


$\bullet\;\;$ Utilizando o critério da razão para a série temos que

$\underset{n \to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\\ \\ \\=\underset{n \to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\left[a_{n+1}\cdot \dfrac{1}{a_{n}} \right ]\\ \\ \\ =\underset{n \to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\left[\dfrac{(n+1)!}{3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots\cdot (2n+1)\cdot (2n+3)}\cdot \dfrac{3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots\cdot (2n+1)}{n!} \right ]\\ \\ \\ =\underset{n \to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\left[\dfrac{(n+1)\cdot n!}{3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots\cdot (2n+1)\cdot (2n+3)}\cdot \dfrac{3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots\cdot (2n+1)}{n!} \right ]$


Cancelando os termos comuns no numerador e no denominador, temos

$=\underset{n \to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{n+1}{2n+3}\\ \\ \\ =\underset{n \to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{n\cdot (1+\frac{1}{n})}{2n\cdot (1+\frac{3}{2n})}\\ \\ \\ =\underset{n \to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\left[\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{2n}} \right ]\\ \\ \\ =\underset{n \to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{1}{2}\cdot \underset{n \to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{2n}}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2}\cdot 1\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2}<1$


Como o limite da razão de termos consecutivos é menor que $1,$ a série $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_{n}}$ converge (pelo critério da razão).


Como a série é convergente, é necessário que

$\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,a_{n}=0\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} \underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{n!}{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot (2n+1)}=0 \end{array}}$



Forma 2:

Vamos mostrar que a sequência $a_{n}$ é decrescente:

$\bullet\;\;\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\ldots=\dfrac{n+1}{2n+3}\\ \\ \\ \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\dfrac{n+1}{2n+2+1}\\ \\ \\ \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\dfrac{n+1}{2\,(n+1)+1}<\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ a_{n+1}<\dfrac{1}{2}\,a_{n}<a_{n}$


Logo, a sequência $a_{n}$ é decrescente.


$\bullet\;\;$ Como todos os termos da sequência são positivos, a sequência é limitada inferiormente por $0.$

Logo, $a_{n}$ converge para um limite finito $L\geq 0.$


$\bullet\;\;$ Quando $n\to \infty,$ temos que

$a_{n+1}\to L\;\text{ e }\;a_{n}\to L.$


Ainda tomando a razão entre termos consecutivos, temos que

$\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\dfrac{n+1}{2n+3}\\ \\ \\ a_{n+1}=\dfrac{n+1}{2n+3}\cdot a_{n}$


Aplicando o limite, com $n\to \infty$ aos dois lados da igualdade acima, temos

$L=\dfrac{1}{2}\cdot L\\ \\ \\ L-\dfrac{1}{2}\cdot L=0\\ \\ \\ \dfrac{1}{2}\cdot L=0\\ \\ \\ L=0$


Portanto,

$\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,a_{n}=0\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} \underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{n!}{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot (2n+1)}=0 \end{array}}$