Question

Como calcular essas equações?
A)5/3x+6 + 3/2x-4 = 19/6
B)(x+1)²+(x+3)³ =2(x²+9)

Answer 1

Olá.

 

Para responder essa questão, devemos utilizar alguns conceitos, que demonstro primeiro, de forma separada, para que no fim fiquem apenas os cálculos de “forma pura”.

 

“Equalizar” denominadores

 

Para realizar operações de soma e subtração entre frações é necessário que essas frações tenham o mesmo denominador. Para igualar os denominadores, podemos multiplicar as frações pelo denominador da outra. Ex.:

 

$\mathsf{\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\longrightarrow\dfrac{d}{d}\cdot\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}\cdot\dfrac{c}{d}\longrightarrow\dfrac{da}{bd}+\dfrac{bc}{bd}\longrightarrow\dfrac{da+bc}{bd}}$

 

Bháskara

 

Para resolver equações de segundo grau, utilizamos a fórmula de Bháskara. Os coeficientes da equação são adquiridos através da forma ax² + bx + c = 0. Segue a fórmula:

 

$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

 

Fatoração

 

A fatoração consiste em um método de reduzir termos à seus componentes primos. Basicamente, se divide o número progressivamente por fatores primos até que o resultado seja 1. O produto dos fatores é igual ao número original. Essa forma é muito utilizada para o desenvolvimento de raízes.

Produtos notáveis.

 

Para os binômios com expoente igual a 2 e 3 deveremos usar dois produtos notáveis, quadrado da soma de dois termo e cubo da soma de dois termos. Algebricamente, tem-se:

 

$\mathsf{(a+b)^2=a^2-2ab+b^2}\\\\ \mathsf{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$

 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

 

Questão A

 

$\mathsf{\dfrac{5}{3x+6}+\dfrac{3}{2x-4}=\dfrac{19}{6}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2x-4}{2x-4}\cdot\dfrac{5}{3x+6}+\dfrac{3}{2x-4}\cdot\dfrac{3x+6}{3x+6}=\dfrac{19}{6}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{5(2x-4)}{(3x+6)(2x-4)}+\dfrac{3(3x+6)}{(3x+6)(2x-4)}=\dfrac{19}{6}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{5(2x-4)+3(3x+6)}{(3x+6)(2x-4)}=\dfrac{19}{6}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{10x-20+9x+18}{3(x+2)\cdot2(x-2)}=\dfrac{19}{6}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{10x+9x-20+18}{6(x+2)(x-2)}=\dfrac{19}{6}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{19x-2}{6(x^2-2x+2x-4)}=\dfrac{19}{6}}$

 

$\mathsf{\dfrac{19x-2}{6(x^2-4)}=\dfrac{19}{6}}\\\\\\ \mathsf{(19x-2)\cdot6=6(x^2-4)\cdot19}\\\\ \mathsf{114x-12=114(x^2-4)}\\\\ \mathsf{114x-12=114x^2-456}\\\\ \mathsf{-114x^2+114x-12+456=0}\\\\ \mathsf{-114x^2+114x+444=0}$

 

Aplicando o Bháskara, teremos:

 

$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-114\pm\sqrt{114^2-4(-114)(444)}}{2(-114)}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-114\pm\sqrt{12.996-4(-50.616)}}{-228}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-114\pm\sqrt{12.996+202.464}}{-228}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-114\pm\sqrt{215.460}}{-228}}$

 

Fatorando o número 215.460, teremos:

 

$\begin{array}{r|l} 215.460&2\\ 107.730&2\\ 53.865&3\\ 17.955&3\\ 5.985&3\\ 1.995&3\\ 665&5\\ 133&7\\ 19&19\\ 1\end{array}$

 

Continuando o desenvolvimento:

 

$\mathsf{x=\dfrac{-114\pm\sqrt{215.460}}{-228}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-114\pm\sqrt{2^2\cdot3^4\cdot5\cdot7\cdot19}}{-228}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-114\pm2\cdot3^2\sqrt{5\cdot7\cdot19}}{-228}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{x=\dfrac{-114\pm18\sqrt{665}}{-228}=\left(\dfrac{-114\pm18\sqrt{665}}{-228}\right)^{:2}=\dfrac{-57\pm9\sqrt{665}}{-114}}}$

 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

 

Questão B

 

$\mathsf{(x+1)^2+(x+3)^3=2(x^2+9)}\\\\ \mathsf{(x^2+2\cdot1\cdot x+1)+(x^3+3x^2\cdot3+3x\cdot3^2+3^3)=2x^2+18}\\\\ \mathsf{(x^2+2x+1)+(x^3+9x^2+3x\cdot9+27)=2x^2+18}\\\\ \mathsf{x^2+2x+1+(x^3+9x^2+27x+27)=2x^2+18}\\\\ \mathsf{x^2+2x+1+x^3+9x^2+27x+27=2x^2+18}\\\\ \mathsf{x^3+x^2-2x^2+9x^2+2x+27x+27+1-18=0}\\\\ \mathsf{x^3-x^2+9x^2+29x+28-18=0}\\\\ \mathsf{x^3+8x^2+29x+10=0}$

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$