Question

como calcula a integral de :

Answer 1

$\displaystyle \int\limits_{0}^{2}3^x\,dx$
Primeiramente, temos que montar uma estratégia para integrar a potencia, tal como fazemos para derivar.
Não sabemos derivar potência, porém sabemos derivar a função exponencial exp(x) e o logaritmo neperiano ln(x).
Relembrando as regrinhas de potencia e logaritmo, podemos escrever três elevado a x como:
$\boxed{3^x=e^{\ln3^x}}~~(1)$
e pelas regras:
$I)~\log_ab^c=c\log_ab\\\\II)a^{\log_ab}=b$
reescrevemos o resultado em (1), como:
$\displaystyle e^{x\ln3}=3^x$
Podemos facilmente integrar essa função agora usando a regra da substituição:
$\boxed{\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du}$
Siga os passos:
$\displaystyle i)~~~~\int\limits_{0}^{2}3^x\,dx=\int\limits_{0}^{2}e^{x\ln3}dx\\\\ii)~~~u=x\ln3\implies \frac{du}{dx}=\ln3\implies dx=\frac{du}{\ln3}\\\\iii)~\int\limits_{0}^{2}e^{x\ln3}dx=\int\limits_{u(0)}^{u(2)}\frac{e^u}{\ln3}du\\\\iv)~\frac{1}{\ln3}\int\limits_{u(0)}^{u(2)}e^udu=\left[\frac{1}{\ln3}e^u\right]_{u(0)}^{u(2)}\\\\v)~~u=x\ln3=\ln3^x\\\\vi)~\left[\frac{e^{x\ln3}}{\ln3}\right]_{0}^{2}=\left[\frac{3^x}{\ln3}\right]^{0}_{2}\\\\vii)~\int\limits_{0}^{2}3^xdx=\frac{3^2}{\ln3}-\frac{3^0}{\ln3}=\frac{9}{\ln3}-\frac{1}{\ln3}=\boxed{\boxed{\frac{8}{\ln3}}}$

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Answer 2

$\displaystyle\sf{\int_{0}^{3}3^x~dx=\dfrac{3^x}{\ell n3}\Bigg|_{0}^{3}=\dfrac{3^3-3^0}{\ell n3}}\\\displaystyle\sf{\int_{0}^{3}3^x~dx=\dfrac{27-1}{\ell n3}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf\displaystyle\int_{0}^{3}3^x~dx=\dfrac{26}{\ell n3}}}}}}$