Question

Com relação ao conceito de integral, existem várias aplicações que podemos destacar, principalmente na área das engenharias. A relação entre as derivadas e integrais tornou-se uma das ferramentas mais poderosas para analisar diversos fenômenos. O primeiro passo para se construir o conceito de integral é estudar alguns critérios de cálculo. Resolva a integral indefinida a

Answer 1

Resolvendo essa integral indefinida, encontra-se: $\int\tt x^3+5x^2+4x+1\,dx=\frac{x^4}{4}+\frac{5x^3}{3}+2x^2+x+C$

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$\displaystyle\int\tt x^3+5x^2+4x+1\,dx$

Inicialmente, reescreva a integral da soma na soma das integrais de cada parcela (prop.1):

$\displaystyle\int\tt x^3\,dx+\displaystyle\int\tt5x^2\,dx+\displaystyle\int\tt4x\,dx+\displaystyle\int\tt1\,dx$

As constantes passam multiplicando suas integrais (prop.2):

$\displaystyle\int\tt x^3\,dx+5\displaystyle\int\tt x^2\,dx+4\displaystyle\int\tt x\,dx+\displaystyle\int\tt1\,dx$

Agora basta resolver cada integral separadamente.  

A integral nada mais é que a operação inversa da derivada. Logo, se a integral de uma função f(x) resulta na primitiva F(x), então F'(x) é igual a f(x); em outras palavras, a função que está sendo integrada provém da derivada de outra função. Ex.: se (x² + c)' = 2x + 0 = 2x, então ∫2xdx = x² + c, c ∈ $\mathbb{R}$; satisfazendo a definição: se [F(x)]' = f(x), então ∫f(x)dx = F(x).

(Lembrando que c é um número real; devemos adicioná-lo ao final das integrações para incluir o infinito grupo de primitivas.)

Com base nisso, extrai-se que:

$\displaystyle\int\tt\!\!\!\underbrace{\tt x^3}_{\tt f(x)}dx+5\displaystyle\int\tt \!\!\!\underbrace{\tt x^2}_{\tt g(x)}dx+4\displaystyle\int\tt\!\!\!\underbrace{\tt x}_{\tt h(x)}dx+\displaystyle\int\tt\!\!\!\underbrace{\tt 1}_{\tt i(x)}\,dx$

$\left[\begin{array}{ll}\tt F'(x)=x^3~\Leftrightarrow~\bigg(\dfrac{x^4}{4}+c\bigg)'=~x^3\implies F(x)=\dfrac{x^4}{4}+c\\\\\tt G'(x)=x^2~\Leftrightarrow~\bigg(\dfrac{x^3}{3}+c\bigg)'=~x^2\implies G(x)=\dfrac{x^3}{3}+c\\\\\tt H'(x)=~x~\Leftrightarrow~\bigg(\dfrac{x^2}{2}+c\bigg)'=~x\implies H(x)=\dfrac{x^2}{2}+c\\\\\tt I'(x)=1~\Leftrightarrow~\big(x+c\big)'=~1\implies I(x)=x+c\end{array}\right.$

$\therefore$

     $\displaystyle\int\tt x^3\,dx+5\displaystyle\int\tt x^2\,dx+4\displaystyle\int\tt x\,dx+\displaystyle\int\tt1\,dx$

$=~\tt\dfrac{x^4}{4}+c+5\cdot\dfrac{x^3}{3}+c+4\cdot\dfrac{x^2}{2}+c+x+c$

$=~\boxed{\tt\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{5x^3}{3}+2x^2+x+\large\tt C}$

(As constantes arbitrárias podem resumir-se a uma só constante ''C''.)

PORTANTO, o valor acima é o resultado requerido da integral desta questão.

Propriedades usadas:

$\sf prop.1\!:\tt \displaystyle\int\tt p(x)+q(x)\,dx=\displaystyle\int\tt p(x)\,dx+\displaystyle\int\tt q(x)\,dx$

$\sf prop.2\!:\tt \displaystyle\int\tt c\,p(x)\,dx=c\displaystyle\int\tt p(x)\,dx$

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.

Answer 2

Resposta:

(x ^ 4)/4 + (5x ^ 3)/3 + 2x ^ 2 + x + C

Explicação passo a passo:

O conceito de integral tem várias aplicações, engenharia, ciencia da computacao, estatistica, financas, etc...

Uso das derivadas e integrais  sao ferramentas poderos as para analisar fenômenos.

Para se construir o conceito de integral alguns critérios de cálculo sao necessarios.

Resolvendo a integral indefinida:  Integral x ^ 3 + 5x ^ 2 + 4x + 1 dx

Encontramos:  Integral x ^ 3 + 5x ^ 2 + 4x + 1 dx = (x ^ 4)/4 + (5x ^ 3)/3 + 2x ^ 2 + x + C

Entao:  Integral x ^ 3 + 5x ^ 2 + 4x + 1 dx

Reescreve-se a integral da soma na soma das integrais de cada parcela:

integral x ^ 3 dx + integral 5x ^ 2 dx + integral 4x dx + integral 1 dx

As constantes passam multiplicando suas integrais:

integral x ^ 3 dx + 5 * integral x ^ 2 dx + 4 * integral x dx + integral 1 dx

Agora vamos resolver cada integral separadamente.

integral t(x) x^ 3 d x + 5 * integral 1 dx para epsilon(x) para 2 +4 int h(x) dx+ int xi(x) 1 xi(x) dx

F^ primitiva (x)=x^ 3 seta ( x^ 4 4 +c)^ primitiva =x^ 3 seta F(x) = (x ^ 4)/4 + c

G^ primitiva (x)=x^ 2 seta ( x^ 3 3 +c)^ primitiva =x^ 2 seta 6(x) = (x ^ 3)/3 + c

H^ primitiva (x)=x seta ( x^ 2 2 +c)^ primitiva =x seta H(x) = (x ^ 2)/2 + c

I^ primitiva (x)=1 seta (x+c)^ primitiva =1 seta I(x) = x + c

integral x ^ 3 dx + 5 * integral x ^ 2 dx + 4 * integral x dx + integral 1 dx = (x ^ 4)/4 + c + 5 * (x ^ 3)/3 + c + 4 * (x ^ 2)/2 + c + x + c

Finalmente o Resultado:  (x ^ 4)/4 + (5x ^ 3)/3 + 2x ^ 2 + x + C

A integral  é a operação inversa da derivada.

Logo, se a integral de uma função f(x) resulta na primitiva F(x), então F'(x) é igual a f(x); em outras palavras, a função que está sendo integrada provém da derivada de outra função.

OBS: A constante c é um número real; devemos adicioná-lo ao final das integrações para incluir o infinito grupo de primitivas.