Question

Com relação à função dada, determine as raízes (caso existam), o maior ou menor valor, esboce o gráfico e estude a variação do sinal de f(x).

F(x) X^2 - 3X + 2

No caso, eu já encontrei as raízes (2 e 1) mas não consegui determinar o maior ou menor valor. Qual calculo eu deveria usar? Por favor, me ajudem.

Answer 1

Pra saber se uma função tem maior ou menor valor basta olhar o coeficiente $a$. Se ele for negativo, será maior valor. Caso contrário, será menor valor.

Em ambos os casos, para determinar o máximo/mínimo você usa a fórmula:

$y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$f(x)=x^2-3x+2$

$\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1$

Logo, $y_v=\dfrac{-1}{4\cdot1}=-\dfrac{1}{4}$

O valor mínimo dessa função é $-\dfrac{1}{4}$. Vamos determinar $x_v$ (o valor de $x$ para que $y$ seja mínimo.

$x_v=\dfrac{-b}{2a} \iff x_v=\dfrac{-(-3)}{2\cdot1} \iff x_v=\dfrac{3}{2}$

O vértice da parábola dessa função é $V\left(\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{4}\right)$

Como você disse as raízes dessa função são $1$ e $2$, logo a parábola intercepta o eixo $x$ nos pontos $(1,0)$ e $(2,0)$.

Além disso, $f(0)=0^2-3\cdot0+2=2$, assim a parábola passa pelo ponto $(0,2)$.

Agora a variação do sinal, temos que:

$f(x)=x^2-3x+2$

$f(x)=0$ para $x=1$ ou $x=2$

$f(x)>0$ para $x<1$ ou $x>2$

Eu sempre lembro da frase: maior que a maior raiz e menor que a menor raiz

$f(x)<0$ para $1<x<2$

O gráfico está em anexo