Question

Com os algarismos do sistema decimal, podemos formar ''n'' números naturais de 4 algarismos distintos. Calcule, então, quantos desses ''n'' números são divisíveis por 5.

Answer 1

Oi Mariana,

Primeiro, vamos descobrir quanto vale "n".

Sabemos que os algarismos do sistema decimal são:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Para formar um número natural de 4 algarismos, temos uma condição:
- O primeiro número não pode ser 0 (Pois se fosse, o número seria de 3 algarismos).

Com isso em mente, teremos 9 possibilidades para o primeiro algarismo, 9 possibilidades para o segundo algarismo (pois agora o 0 pode aparecer e um já foi utilizado anteriormente), 8 possibilidades para o terceiro algarismo (dois já foram usados) e 7 possibilidades para o quarto e último algarismo (pois três dos dez disponíveis já foram utilizados). Isso é esquematizado a seguir:
$\boxed{} \:\:\:\:\boxed{} \:\:\:\:\boxed{} \:\:\:\:\boxed{} \\ 9\:\:\:\:\:9\:\:\:\:\:8\:\:\:\:\:7$

Multiplicando todas essas possibilidades, teremos o total de números que podem ser formados:
$n = 9*9*8*7 \\ n = 4.536$

Agora vejamos, de todos esses 4.536 números, somente alguns são divisíveis por 5. Eles são os números que terminam com 0 ou 5. Vamos calcular da mesma forma a quantidade desses número, tendo como condição agora:
-O último número deve ser 0.

Sendo assim, para o primeiro algarismo teremos 9 possibilidades, para o segundo teremos 8 e para o terceiro teremos 7. Isto é, chamando de "a" os números que terminam com 0:
$a = 9*8*7 \\ a = 504$

Do mesmo modo, agora precisamos calcular os números que terminam com 5. Dado pela condição:
- O último número deve ser 5.

Então, para o primeiro algarismo, que deve ser diferente de 0, teremos 8 opções. Também teremos 8 opções para o segundo, pois 2 já foram utilizados. Já para o terceiro, restam 7 opções. Sendo "b" os números que terminam com 5, temos:
$b = 8*8*7 \\ b = 448$

Portanto, existem 952 (a+b, ou se preferir 448+504) números dos 4.536 que são divisíveis por 5.

Bons estudos!