Question

Com calculos seria muito bem vindo

Answer 1

Resposta:

O termo independente existe e é igual a 3003.

Explicação passo-a-passo:

Do binómio de Newton, tem-se:

$\displaystyle(a+b)^n = \sum_{k=0}^n{n \choose k} a^k b^{n-k}.$

No nosso caso, tem-se:

$\displaystyle n = 14;\\a = \sqrt[4]{x} = x^{1/4};\\b = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}.$

Assim, a parte literal do termo geral da soma é:

$\displaystyle a^k b^{n-k} = (x^{1/4})^k \times (x^{-1/3})^{14-k} = x^{k/4} \times x^{-(14-k)/3} = x^{k/4-14/3+k/3} =\\= x^{3k/12+4k/12-14/3} = x^{7k/12-14/3}.$

O termo independente de $x$ terá expoente nulo, ou seja:

$\dfrac{7k}{12}-\dfrac{14}{3} = 0 \iff \dfrac{7k}{12} = \dfrac{14}{3} \iff k = \dfrac{12}{7}\times \dfrac{14}{3} = \dfrac{12}{3}\times \dfrac{14}{7} = 4 \times 2 = 8.$

Como $k \in \mathbb{N}$, concluímos que o termo independente existe. Para calcular o seu valor, basta substituir $k = 8$ nas combinações:

$\displaystyle {n \choose k} = {14 \choose 8} = \dfrac{14!}{8!\times(14-8)!} = \dfrac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!}{8! \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2} =\\= \dfrac{2162160}{720} = 3003.$

Assim, o termo independente desse desenvolvimento é $3003$.