Question

Com base na Técnica de Integração por Substituição, calcule a integral definida da função f(x) =( x^2+1)^1/2 x de -1 a 1

Answer 1

∫ √(x²+1) dx

Faça x = tan(u) ==>dx =sec²(u) du

∫ √(tan²+1) sec²(u) du

***sen²(x)+cos²(x)=1

*** divida tudo por cos²(x) ==> tan²(x)+1=sec²(x)

∫ √(sec²(x)) sec²(u) du

∫sec³(u) du

Aplicar a redução de integrais

∫(sec(x))^n dx =[(sec(x))^(n-1) *sen(x)]/(n-1) +[(n-2)/(n-1)] * ∫ ((sec(x)^(n-2) dx

∫(sec(u))^3 du =[(sec(u))² * sen(u)]/2 +(1/2)*∫sec(u) du

=(sec²(u)*sen(u))/2 +(1/2)*∫sec(u) du

***Aplicar as regras de integração:

***∫sec(u) du = ln |tan(u)+sec(u)|

=(sec²(u)*sen(u))/2 +(1/2)* ln |tan(u)+sec(u)|

Substituir na equação u =arctan(x)

=(sec²(arctan(x))*sen(arctan(x)))/2 +(1/2)* ln |tan(arctan(x))+sec(arctan(x))|

*** sabendo que tan(arctan(x)) = x

=(sec²(arctan(x))*sen(arctan(x)))/2 +(1/2)* ln |x+sec(arctan(x))|

*** sabendo que sec (arctan(x))=√(1+x²)

=(√(1+x²)²)*sen(arctan(x)))/2 +(1/2)* ln |x+√(1+x²)|

*** sabendo que sen(arctan(x)=(x√(1+x²))/(1+x²)

=(√(1+x²)²)*(x√(1+x²))/(1+x²))/2 +(1/2)* ln |x+√(1+x²)|

***resolvendo ==>(√(1+x²)²)*(x√(1+x²))/(1+x²))/2 =(1/2)*x√(1+x²)

=(1/2)*x√(1+x²) +(1/2)* ln |x+√(1+x²)|

1

=[(1/2)*x√(1+x²) +(1/2)* ln |x+√(1+x²)| ] ≈ 2,2956

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