Question

Com algarismos de 1 à 9, quantos números naturais de 7 algarismos, sendo que 3 são pares e 4 impares, podem ser formados, se:
1: é permitida a repetição de algarismos pares, mas não é permitido a repetição de algarismos impares?

2: não é permitida a repetição de algarismos?

Answer 1

❑ Questão de análise combinatória!

❑ Questão 1:

➯ Primeiro temos que escolher as posições que os pares devem ficar, isso pode ser feito de  $C_{3}^7$ formas(3 escolhe 7). Para cada par, há 4 escolhas possíveis (2,4,6,8), então há $4^3$ formas de preencher essas posições separadas.

➯ Sobraram 4 posições para os ímpares. Há  $C_{5}^{4}$ maneiras de selecionar os ímpares que irão preenchê-las, também há $4!$ permutações entre os ímpares nessas posições.

➯ Pelo P.F.C:

$N = C_{3}^{7}\cdot4^3\cdot C_{5}^4\cdot 4!\\\\\\N = \dfrac{7\cdot6\cdot5}{6}\cdot (2^2)^3\cdot\dfrac{5\cdot4\cdot3\cdot2}{24}\cdot 24\\\\N = 7\cdot5\cdot64\cdot5\cdot24\\\\N = 35\cdot320\cdot24\\\\N = 268800$

❑ Questão 2:

➯ Devemos escolher os pares que vão para o número, isso pode ser feito de $C_{4}^3$ formas , já que todos devem ser distintos. Há $C_{5}^4$ formas de escolher os ímpares. Agora temos 7 algarismos todos distintos, temos $P_7$ formas de permutá-los.

$N = C_{4} ^3\cdot C_{5}^4 \cdot 7!\\\\\\N = \dfrac{4\cdot3\cdot2}{3!}\cdot 5\cdot 5040\\\\N = 20\cdot5040\\\\N = 100800$

• Veja mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/13214145