Question

Com a palavra ARARAQUARA podemos formar um número de anagramas corresponde a: A) 5040 B) 5004 C) 10080 D) 3628800.

Answer 1

A palavra ARARAQUARA tem 10 letras. Ao permutarmos as 10 letras, chegamos a

$P_{10}= 10! = 3.628.800$ 

o total de anagramas.

Mas temos que desconsiderar as letras que se repetem. São elas:

A - repete 5 vezes 
R - repete 3 vezes

Caímos, então, num caso de permutação com repetição. Para calcular isto, devemos calcular o fatorial da quantidade de palavras, que é P₁₀ e dividir pela multiplicação do fatorial das palavras que se repetem, que é P₅ · P₃. Assim, a fórmula da permutação com repetição é

$P_{10}^{5,3} = \dfrac{10!}{5!3!} = \dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot\not{5}!}{\not{5}!\cdot3!}$

Cancelamos o 5! do numerador com o 5! do denominador. Agora, fica mais fácil

$P_{10}^{5,3} = \dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{3!} = \dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot\not{6}}{\not{6}}$

Como 3! = 3 · 2 · 1 = 6, cancelamos  o 6 do numerador com o 6 do denominador. E restou a multiplicação 10 · 9 · 8 · 7 = 5040.

Portanto,

$P_{10}^{5,3} = 10\cdot9\cdot8\cdot7 = 5040$