Question

Com 45 canudinhos retilíneos de diversos tamanhos, sem nunca qlianhar dois deles fazendo emendas, Álvaro montou um polígono convexo com todas suas diagonais, esse polígono corresponde a um :
A- octógono
B- eneagono
C-decagono
D-pentadecagono
E- icosagono

Answer 1

Esse polígono corresponde a um:

decágono

Se Álvaro usou 45 canudinhos para montar todos os lados e diagonais de um polígono convexo, significa que a soma de lados e diagonais é 45. Logo:

n + d = 45

ou...

d = 45 - n

Aplicamos a fórmula das diagonais de um polígono convexo:

d = n.(n - 3)

          2

Substituindo d por 45 - n, temos:

45 - n = n.(n - 3)

                  2

n.(n - 3) = 2.(45 - n)

n² - 3n = 90 - 2n

n² - 3n + 2n - 90 = 0

n² - n - 90 = 0

Agora, vamos resolver a equação do 2° grau.

Δ = b² - 4ac

Δ = (-1)² - 4.1.(-90)

Δ = 1 + 360

Δ = 361

n = - b ± √Δ

         2a

n = - (-1) ± √361

            2.1

n = 1 ± 19

         2

n' = 1 + 19 = 20 = 10

         2         2

n'' = 1 - 19 = - 18 = - 9

         2          2

Como o valor de n deve ser um número natural, pois é a quantidade de lados, ficamos com a raiz positiva. Portanto:

n = 10

É um decágono.