Question

Quando estudando sobre potenciação com radicais, o livro me apresentou esses dois exemplos: (2 ³√3)⁵ = 2⁵ . ³√3⁵ = 32 . . ³√3² = 96 ³√3²
(√5 + 3)² = (√5)² + . √ . + 3² = 5 + 6√5 + 9 = 14 + 6√5.
No primeiro exemplo eu queria que alguém me explicasse de onde saiu o número "3" em negrito e porque o "³√3⁵" virou "³√3²".
Já no segundo exemplo eu queria que me explicassem de onde saíram todos os números em negrito. Obrigado!

Answer 1

Resposta:

Abaixo

Explicação passo-a-passo:

(2 ³√3)⁵ = (2)⁵.(³√3)⁵ = 2⁵.³√(3⁵)

Dentro da raiz cúbica tem uma exponenciação com expoente maior que 3, logo dá para simplificar por meio de fatoração, pois 3⁵ = 3³.3²

2⁵.³√(3⁵) = 2⁵.³√(3³.3²)

Como o que está dentro da raiz cúbica é uma multiplicação, a propriedade permite tirar a raiz cúbica de cada fator

³√(3⁵) = ³√(3³).³√(3²)

Como temos uma raiz cúbica de uma número elevado a terceira, restará somente o número pois a raiz se cancela com o expoente

³√(3³) = 3

Ou seja, na verdade o ³√3⁵ foi simplificado para 3.³√3²

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Lembrando que

$(a+b)^{2} =a^{2}+2ab+b^{2}$

Logo

(√5 + 3)² = (√5)² + 2.√5.3 + 3² = √(5²) + 2.3.√5 + 3²

Novamente raiz igual ao expoente se cancelam e mudando o fato 3 de ordem na multiplicação não altera o resultado

(√5 + 3)² = 5 + 6√5 + 9

(√5 + 3)² = 14 + 6√5