Question

(Colégio Naval - 1975 - Adaptada) Qual é o menor valor positivo de K para que a raiz real da equação $\Large\text{ \sf\sqrt{4-\sqrt[\sf 3]{\sf x^3-K}}=1 }$ seja um número racional inteiro?


a) 1

b) 60

c) 27

d) 37

e) 40

Answer 1

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⠀⠀O menor valor positivo de ''K'' que atenda as condições do enunciado se configura na alternativa d) 37.

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⠀⠀De início a questão pede o menor valor positivo de ''K'' para que a raiz real ''x'' da equação $\small\text{ \sf\sqrt{4-\sqrt[\sf3]{\sf x^3-K}}=1 }$ seja um número racional inteiro (lembrando que todo número inteiro é racional, porém nem todo número racional é inteiro, então esse conjunto abrange somente os números inteiros pois também são racionais).

⠀⠀Inicialmente vamos resolver a equação normalmente. A ideia é remover os radicais elevando ambos os membros, respectivamente, ao quadrado e ao cubo:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf\sqrt{4-\sqrt[\sf3]{\sf x^3-K}}=1\\\\\\\sf\implies~~~~\Big(\sqrt{4-\sqrt[\sf3]{\sf x^3-K}}\,\Big)^{\!2}=1^2\\\\\\\sf\implies~~~~4-\sqrt[\sf3]{\sf x^3-K}=1\\\\\\\sf\implies~~~~\sqrt[\sf3]{\sf x^3-K}=4-1\\\\\\\sf\implies~~~~\sqrt[\sf3]{\sf x^3-K}=3\\\\\\\sf\implies~~~~\big(\sqrt[\sf3]{\sf x^3-K}\,\big)^{\!3}=3^3\\\\\\\sf\implies~~~~x^3-K=27\end{array}$

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⠀⠀Agora atenção: pensando no menor cubo perfeito ''x³'', percebemos que para x ≤ 3 teremos K ≤ 0 e, reiterando, ''K'' deve ser um número positivo, então valor nulo ou negativo não serve. Por conta disso, o próximo menor cubo perfeito que atenda a condição x > 3 seria 4³, logo x = 4:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf4^3-K=27\\\\\\\sf\implies~~~~64-K=27\\\\\\\sf\implies~~~~K=64-27\\\\\\\implies~~~~\!\boxed{\sf K=37}\end{array}$

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⠀⠀Dessarte, a alternativa d) responde a questão.

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                            $\large\boldsymbol{\mathsf{-x-}~~Q\upsilon es\tau\alpha\theta~f\iota\eta\alpha l\iota z\alpha\delta\alpha~~\mathsf{-x-}}$

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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          $\large\boldsymbol{O\beta r\iota g\alpha\delta\theta~\rho el\alpha~q\upsilon es\tau\alpha\theta~e~\upsilon m~cor\delta\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!\ \heartsuit\heartsuit}$