( CN ) Qual deverá ser o menor número inteiro que somado a cada um dos números 6, 8, 14, obtém-se as medidas dos lados de um triângulo em que o ortocentro está no seu interior ?
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Traçando as alturas e marcando o ortocentro no interior de um triangulo vemos facilmente que esse triangulo deve ser acutangulo , visto que , as alturas formam triangulos retangulos internos e fazem com que os angulos dos vertices sejam menores que 90° . Então para que o ortocentro seja interno ao triangulo ele deve ser acutangulo .
Num triangulo acutangulo sabemos que :
pela síntese de clairaut : a² < b²+c² , onde a é o maior lado do triangulo
Sendo x o menor numero que deve ser somado a 6 , 8 e 14 para obter os lados de um triangulo com ortocentro interno , temos :
(14+x)² < (6+x)² + (8+x)²
196+28x+x² < 36+12x+x² + 64+16x+x²
196+28x+x² < 100+28x+2x²
96 < x²
x² > 96
Então : x > 9,8.. e o menor inteiro maior que 9,8.. é 10 .
x = 10
E o triangulo formado teria lados : 16 , 18 e 24 , testemos se ele é realmente acutangulo :
24² < 16²+18²
576 < 256 + 324
576 < 580 (verdade)
Num triangulo acutangulo sabemos que :
pela síntese de clairaut : a² < b²+c² , onde a é o maior lado do triangulo
Sendo x o menor numero que deve ser somado a 6 , 8 e 14 para obter os lados de um triangulo com ortocentro interno , temos :
(14+x)² < (6+x)² + (8+x)²
196+28x+x² < 36+12x+x² + 64+16x+x²
196+28x+x² < 100+28x+2x²
96 < x²
x² > 96
Então : x > 9,8.. e o menor inteiro maior que 9,8.. é 10 .
x = 10
E o triangulo formado teria lados : 16 , 18 e 24 , testemos se ele é realmente acutangulo :
24² < 16²+18²
576 < 256 + 324
576 < 580 (verdade)
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