Question

CLIQUE PARA VER AS EQUAÇÕES! Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) $( \sqrt[5]{2} ) ^{x} = \frac{1}{32}$

b) $(0,1) ^{ x^{2}-x } =(0,01) ^{x-1}$

c) $(0,5) ^{2x} = 2 ^{1-3}$

d) $( \frac{2}{3} ) ^{3x+2} = \frac{16}{81}$

Answer 1

Bom dia Emilly!

Emily,para resolver equações exponenciais é bom ter em mente algumas informações básicas: decomposição de números primos,transformação de números decimais em fração e multiplicação de expoentes negativos,radiciação para que as bases fiquem iguais,munido dessa informações estaremos resolvendo esses exercícios, e que o bom conhecimento de equação exponencial facilita o entendimento na resolução de logaritmos,pois sendo os logaritmos o inverso das equações exponenciais.Essas informações será aplicadas nos exercícios abaixo.

$a)~~( \sqrt[5]{2})^{x}= \dfrac{1}{32}$

Vamos agora fazer a radiciação e decompor o 32.

$32=2^{5}$

$2^{\left ( \dfrac{1}{5} \right ) ^{x} } = \dfrac{1}{2^{5} }$

$2^{\left ( \dfrac{1}{5} \right ) ^{x} } = 2^{-5} }$

Veja que as bases estão iguais,agora é só resolver os expoentes.

$\dfrac{x}{5} =-5$

$x=-25$

$\boxed{ Resposta:a)~~( \sqrt[5]{2})^{x}= \dfrac{1}{32}\Rightarrow x=-25}$


$b)~~(0,1)^{ x^{2} -x} =(0,01)^{x-1}$

Vamos igualar as bases escrevendo os decimais em fração.

$\left ( \dfrac{1}{10} \right )^{ x^{2} -x}= \left ( \dfrac{1}{100} \right ) ^{x-1}$

$\left ( \dfrac{1}{10} \right )^{ x^{2} -x}= \left ( \dfrac{1}{10^{2} } \right ) ^{x-1}$

$(10^{-1}) ^{ x^{2}-x }=(10^{-2}) ^{x-1}$

Como as bases foram igualadas,vamos multiplicar os expoentes.

$-1( x^{2} -1)=-2(x-1)$

$( -x^{2} +1)=(-2x+2)$

$- x^{2} +1+2x-2=0$

$x^{2} -2x+1=0$

Veja que os expoente é uma equação do segundo grau,vamos resolve-la empregando a formula de Bhaskára.

$Formula\Rightarrow x= \dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4.a.c } }{2.a}$

Coeficientes da equação.

$a=1$

$b=-2$

$c=1$

Vamos nesse momento substituir os coeficientes na formula para determinar suas raizes.

$x= \dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^{2}-4.1.1 } }{2.1}$

$x= \dfrac{(2)\pm \sqrt{(4-4 } }{2}$

$x= \dfrac{2\pm \sqrt{0 } }{2}$

$x= \dfrac{2\pm0}{2}$

$Como~~\Delta=0\Rightarrow x_{1}= x_{2}$

$x= \dfrac{2}{2}=1$

$x_{1}= x_{2}=1$

$\boxed{b)Resposta~~(0,1)^{ x^{2} -x} =(0,01)^{x-1}\Rightarrow x=1}$


$c)(0,5)^{2x}=2^{1-3}$

$\left ( \dfrac{5}{10} \right )^{2x}=2^{1-3}$

Vamos simplificar a fração.

$\left ( \dfrac{1}{2} \right )^{2x}=2^{1-3}$

$(2^{-1} )^{2}=(2)^{1-3}$

$-1(2x)=1-3$

$-2x=-2$

$x= \dfrac{-2}{-2}$

$x=1$

$\boxed{Resposta:c)~~(0,5)^{2x}=2^{1-3}\Rightarrow x=1}$


$d) \left ( \dfrac{2}{3} \right )^{3x+2}= \left ( \dfrac{16}{81} \right )$

Veja que as bases estão diferentes,vamos decompor e reescreve-la com uma só potencia para igualar as mesmas.

$16=2^{4}$

$81=3 ^{4}$

$\left ( \dfrac{2}{3} \right )^{3x+2}= \left ( \dfrac{2^{4} }{3^{4}\right)}$

$\left ( \dfrac{2}{3} \right )^{3x+2}= \left ( \dfrac{2 }{3} \right)^{4} }$

Veja que as bases ficaram iguais,agora só resta os expoentes.

$3x+2=4$

$3x=4-2$

$3x=2$

$x= \dfrac{2}{3}$

$\boxed{Resposta:d) \left ( \dfrac{2}{3} \right )^{3x+2}= \left ( \dfrac{16}{81} \right )\Rightarrow x= \dfrac{2}{3}}$

Bom dia!
Bons estudos!