Matemática, perguntado por Tvejo, 7 meses atrás

Cláudio tem um terreno no formato retangular.

Este terreno possui um pequeno lago que ocupa

uma região de formato quadrado. Ele deseja

cercar essa região, porém não sabe as medidas

dos seus lados (representados na ilustração pela

letra x).

Sabendo que o terreno todo tem a sua medida de

comprimento 15 metros maior do que a região

quadrada e sua largura é 10 metros maior que esta

mesma região, conforme a imagem ao lado, responda o que se pede:

a) Sabendo que a área total do terreno é igual a 414 ma e com os dados apresentados no

enunciado, escreva uma equação que melhor represente a situação.

b) Escreva a equação em sua forma geral e identifique os seus coeficientes.

c) Calcule o valor de xe descubra quantos metros de cerca serão necessários para dar três

voltas ao redor da região quadrada ocupada pelo lago.

Soluções para a tarefa

Respondido por Atoshiki

Referente ao terreno com forma de retângulo e o lago quadrado, obtemos:

Item A: a equação que representa a situação é: 414 = (15+x)(10+x);
Item B: a equação na forma geral e seus coeficientes são: x²+25x-264=0, o qual a =1, b=25 e c= -264.
Item C: x=8 e precisa-se de 96 metros de cerca para dar três voltas no lago.

Acomapnhe a solução:

Conforme descrito, montei a figura em anexo.

Sabendo que a área (A) de um retângulo é calculado multipliplicando-se a base (b) pela sua altura (h), e que 1 volta em torno do lago quadrado (todos os lados de mesma medida) é o mesmo que encontrar o perímetro do lago, que nada mais é do que a soma de todos os lados da figura geométrica, temos:

Cálculo:

>>> Item A:

$\large\begin {array}{l}A = b\cdot h\\\\\Large\boxed{\boxed{414 = (15+x)\cdot(10+x)}}\Huge\checkmark\end {array}$

>>> Item B:

Calculando a equação, encontraremos a sua forma geral e poderemos identificar seus coeficientes. Lembre-se que a forma geral de uma equação do 2º grau é dada por ax²+bx+c=0.

$\large\begin {array}{l}414=\underbrace{(15+x)(10+x)}_{distributiva}\\\\150+15x+10x+x^2=414\\\\x^2+25x-264=0\\\\\Large\boxed{\boxed{x^2+25x-264=0,\; sendo\;a=1,\;b=25,\;c=-264}}\Huge\checkmark\end {array}$

>>> Item C:

Aplicando Bháskara.

$\large\begin {array}{l}\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c\\\\\Delta=25^2-4\cdot 1\cdot(-264)\\\\\Delta=625+1056\\\\\Large\boxed{\boxed{\Delta = 1681}}\end {array}$

$\large\begin {array}{l}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}} {2\cdot a}\\\\x=\dfrac{-25\pm\sqrt{1681}} {2\cdot 1}\\\\x=\dfrac{-25\pm41}{2}\end {array}$

$\boxed{\large\begin {array}{l}x'=\dfrac{-25+41}{2}\\\\x'=\dfrac{16}{2}\\\\\Large\boxed{\boxed{x'=\;8\;\;\;\;}}\Huge\checkmark\end {array}}\quad\quad \boxed{\large\begin {array}{l}x"=\dfrac{-25-41}{2}\\\\x"=\dfrac{-66}{2}\\\\\Large\boxed{\boxed{x"=-33}}\Huge\checkmark\end {array}}$

Como não existe medida negativa, x = 8 metros.

Assim, cada lado do lago mede 8 metros.

$\large\begin {array}{l}per\'imetro=lado + lado+lado+lado\\\\per\'imetro=8+8+8+8\\\\\Large\boxed{\boxed{per\'imetro=32\;metros}}\Huge\checkmark\end {array}$

Desta forma, 1 volta no valor é igual a 32 metros. Como para cercar precisa dar 3 voltas, $3\times32=\boxed{96\;metros}$ .

Resposta:

Portanto, referente ao terreno retangulo e o lago quadrado, obtemos:

Item A: a equação que representa a situação é: 414 = (15+x)(10+x);
Item B: a equação na forma geral e seus coeficiente são: x²+25x-264=0, o qual a =1, b=25 e c= -264.
Item C: x=8 e precisa-se de 96 metros de cerca para dar três voltas no lago.