Question

Cinco cartas, inicialmente dispostas como na figura, serão embaralhadas. Em cada embaralhamento, a primeira carta passa a ser a segunda, a segunda passa ser a quarta, a terceira passa a ser a primeira, a quarta passa a ser a quinta e a quinta passa a ser a terceira. Qual será a primeira carta após 2012 embaralhamentos?

Answer 1

Vamos rastrear o que acontece com a primeira carta após cada embaralhamento. Suponha que as cartas sejam dispostas incialmente nesta ordem.

Disposição inicial:

         A♣   2♣    3♣    4♣   5♣
        ——  ——  ——  ——  ——


A cada embaralhamento, as cartas são novamente dispostas, seguindo as seguintes regras:

     (i)  A 1ª carta passa a ser a 2ª;

     (ii)  A 2ª carta passa a ser a 4ª;

     (iii)  A 3ª carta passa a ser a 1ª;

     (iv)  A 4ª carta passa a ser a 5ª.

     (v)  A 5ª carta passa a ser a 3ª.


Seguindo essas regras, teremos

     •  Após o 1º embaralhamento:

         3♣   A♣    5♣    2♣   4♣
        ——  ——  ——  ——  ——


     •  Após o 2º embaralhamento:

         5♣   3♣    4♣    A♣   2♣
        ——  ——  ——  ——  ——


     •  Após o 3º embaralhamento:

         4♣   5♣    2♣    3♣   A♣
        ——  ——  ——  ——  ——


     •  Após o 4º embaralhamento:

         2♣   4♣    A♣    5♣   3♣
        ——  ——  ——  ——  ——


     •  Após o 5º embaralhamento:

         A♣   2♣    3♣    4♣   5♣
        ——  ——  ——  ——  ——


Perceba que após 5 embaralhamentos, todas as cartas voltaram às posições iniciais. Logo, esse problema é cíclico, e se repete a cada 5 passos.

Para obter a configuração das cartas após 2012 embaralhamentos, basta encontrarmos o resto da divisão de 2012 por 5:

       2 0 1 2   |  5
                      —————
    − 2 0            4 0 2
   ——— 
          0 1 2
        −   1 0
         ———
                2


     2012 = 5 × 402 + 2.


Como o resto da divisão é 2, após o 2012º embaralhamento, as cartas estão dispostas exatamente como estavam após o 2º embaralhamento:

         5♣   3♣    4♣    A♣   2♣
        ——  ——  ——  ——  ——


A primeira carta é 5♣.


Resposta:  alternativa  E) 5♣.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)