Question

CHAMA-SE ANGULO DE DOIS PLANOS A E B MENOR ANGULO QUE UM VETOR NORMAL A DORMA COM UM VETOR NORMAL A B. NESSE CONTEXTO, CALCULE O ANGULO ENTRE OS PLANOS: A:2X+Y-Z+3=0 B:X+Y-4=0 Alternativa 1: O ângulo formado entre os planos é 15º Alternativa 2: O ângulo formado entre os planos é 30º Alternativa 3: O ângulo formado entre os planos é 45º Alternativa 4: O ângulo formado entre os planos é 60º Alternativa 5: O ângulo formado entre os planos é 75º

Answer 1

Temos que o ângulo entre dois planos é igual ao menor ângulo tal que:

cos(α₁,α₂) = |cos(n₁, n₂)|

sendo n₁ e n₂ os vetores normais aos planos.

O vetor normal do plano 2x + y - z = -3 é n₁ = (2,1,-1) e o vetor normal do plano x + y = 4 é n₂ = (1,1,0).

Calculando o produto interno n₁.n₂:

<n₁,n₂> = 2.1 + 1.1 - 1.0 = 3

Calculando a norma dos vetores:

||n₁|| = √6

||n₂|| = √2

Assim, $cos(\alpha_1, \alpha_2) = |\frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{2}}| =\frac{\sqrt{3}}{2}$

Portanto, podemos concluir que o ângulo entre os planos é igual a 30°.

Alternativa correta: Alternativa 2.