Question

(Cesgranrio-RJ) O ponto a (-1 -2) é um vértice de um triângulo equilátero ABC, cujo lado BC está sobre a reta de equação x+2y-5=0. Determine a altura da medida desse triângulo.
URGENTE

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Seja AH a altura procurada

$\sf x+2y-5=0$

$\sf 2y=-x+5$

$\sf y=\dfrac{-x}{2}+\dfrac{5}{2}$

$\sf m_r=\dfrac{-1}{2}$

A reta suporte da altura AB é perpendicular a reta suporte de BC

Quando duas retas são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares é -1

$\sf m_r\cdot m_s=-1$

$\sf \dfrac{-1}{2}\cdot m_s=-1$

$\sf m_s=\dfrac{-1}{\frac{-1}{2}}$

$\sf m_s=2$

• Equação da reta suporte da altura AH

$\sf y-y_0=m\cdot(x-x_0)$

$\sf y+2=2\cdot(x+1)$

$\sf y+2=2x+2$

$\sf y=2x+2-2$

$\sf y=2x$

A interseção dessas retas é o ponto H

Igualando $\sf y=\dfrac{-x}{2}+\dfrac{5}{2}$ e $\sf y=2x$:

$\sf \dfrac{-x}{2}+\dfrac{5}{2}=2x$

$\sf -x+5=2\cdot2x$

$\sf -x+5=4x$

$\sf 4x+x=5$

$\sf 5x=5$

$\sf x=\dfrac{5}{5}$

$\sf x=1$

Assim:

$\sf y=2x$

$\sf y=2\cdot1$

$\sf y=2$

Então, $\sf H(1,2)$

Logo, a altura procurada mede:

$\sf \overline{AH}=\sqrt{(1+1)^2+(2+2)^2}$

$\sf \overline{AH}=\sqrt{2^2+4^2}$

$\sf \overline{AH}=\sqrt{4+16}$

$\sf \overline{AH}=\sqrt{20}$

$\sf \overline{AH}=2\sqrt{5}$